Question SVP

[Baaaaaadet]

Bonjour, je ne comprends pas cette question (il faut dire les qu'elles sont vraies ou fausse)  :

Soit θ ∈ R . e^iθ  ∈ R si et seulement si :

θ = 0

θ = 2pi

θ = 2kpi , k ∈ Z

θ = kpi , k ∈ Z 

[Black Jack]

il y a 11 minutes, Baaaaaadet a dit :

Bonjour, je ne comprends pas cette question (il faut dire les qu'elles sont vraies ou fausse)  :

Soit θ ∈ R . e^iθ  ∈ R si et seulement si :

θ = 0

θ = 2pi

θ = 2kpi , k ∈ Z

θ = kpi , k ∈ Z 

Bonjour,

e^(i.theta) = cos(theta) + i.sin(theta)

---> e^(theta) appartient aux Réels si  theta = k.Pi (pour k dans Z)

Les 3 premières propositions sont fausses car il existe d'autres valeurs de theta que celle(s) donnée(s) qui conviennent.

La proposition 4 est la seule vraie.

 

 

 

[julesx]

.

[Baaaaaadet]

il y a 2 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

Soit tu raisonnes directement sur l'exponentielle, soit tu utilises la forme trigonométrique correspondante.

Dans le premier cas, tu regardes où se place le complexe correspondant dans le plan trigonométrique. Comme l'angle θ est forcément un multiple de π, le complexe se place sur l'axe des réels (axe Ox) dans les 4 cas, qui sont donc tous vrais.

Dans le deuxième cas, tu remplaces l'exponentielle par cos(θ)+isin(θ). Là, tu vois que, dans tous les cas, sin(θ) est nul, donc que le nombre est réel.

Mais je ne comprends pas pourquoi c'est la dernière, comment je dois procéder pour savoir ? 

[julesx]

Désolé, j'avais zappé le "seulement si". Revois le post de Black Jack.

[Baaaaaadet]

il y a 8 minutes, Black Jack a dit :

Bonjour,

e^(i.theta) = cos(theta) + i.sin(theta)

---> e^(theta) appartient aux Réels si  theta = k.Pi (pour k dans Z)

Les 3 premières propositions sont fausses car il existe d'autres valeurs de theta que celle(s) donnée(s) qui conviennent.

La proposition 4 est la seule vraie.

 

 

 

Je ne comprends pas comment vous avez fait pour trouver la réponse 

[Baaaaaadet]

il y a 33 minutes, Black Jack a dit :

Bonjour,

e^(i.theta) = cos(theta) + i.sin(theta)

---> e^(theta) appartient aux Réels si  theta = k.Pi (pour k dans Z)

Les 3 premières propositions sont fausses car il existe d'autres valeurs de theta que celle(s) donnée(s) qui conviennent.

La proposition 4 est la seule vraie.

 

 

 

svp

[Black Jack]

il y a 43 minutes, Baaaaaadet a dit :

svp

Pour que e^(i.θ) soit réel il faut que sin(θ) = 0, donc θ = k.Pi (avec k dans Z)

MAIS l'énoncé précise : e^iθ  ∈ R si et seulement si :

Dans la proposition 1, soit θ = 0 ... donnera bien e^(i.theta) réel

Cela satisfait : e^iθ  ∈ R si θ = 0

MAIS cela ne satisfait pas le "seulement si" car il y a d'autres valeurs de theta pour lesquelles e^(i.θ) est également réel, par exemple θ = Pi (entre d'autres)

On ne peut donc pas dire que e^iθ est réel seulement si θ = 0

---> la proposition 1 est fausse.

Explication similaire, pour montrer que les propositions 2 et 3 sont également fausses.

Modifié le 19 novembre 2023 par Black Jack

[volcano47]

Baaadet ce qui est important pour profiter de ce que disent les intervenants c'est que tu voies bien que sur le cercle trigonométrique,  θ = 0 te donne le point (1,0) (donc k .pi avec k =0) puis pour k=1 , tu parcours le cercle d'un arc égal à pi pour aboutir au point (-1,0) et ainsi de suite pour k progressant par valeurs entières.

A chaque fois que tu rajoutes pi donc un demi tour (k=0,1,2 ou -1, -2,.....), l'image du nombre en question ne quitte pas l'axe Ox qui, dans le plan complexe, correspond bien à l'axe des réels soit positifs soit négatifs. Bien entendu avec n'importe quel module autre que 1 ce serait la même chose de ce point de vue là.

Si tu avais pris la solution θ= 2kpi , k=0 était bon mais tu éliminais les points situés du côté des réels négatifs (correspondant à l'angle pi modulo un certain nombre de tours)

Si ceci n'est pas transparent, il faut revoir le cours de trigo .