DM de MATHS EXPERTES

Baaaaaadet · le 22 octobre 2023

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour les exercices suivants svp

Modifié le 22 octobre 2023 par Baaaaaadet

Black Jack · le 23 octobre 2023

Bonjour,

Je fais le premier ... que tu dois arriver à comprendre et refaire seul ensuite.

Ex 1

1)
a)
z² - 6z + c = 0 avec c dans R et > 9

Delta = (-6)² - 4c = 36 - 4c = 4(9 - c)
Comme c > p, Delta < 0 et donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées non réelles.

b) RacineCarré(Delta) = +/- 2i . RacineCarrée(c-9)

Les 2 solutions sont donc : z_A = (6 + 2i . Racinecarrée{c-9)/2 = 3 + i . Racinecarrée{c-9[/tex]
et z_B = (6 - 2i. RacineCarrée{c-9))/2 = 3 - i. RacineCarrée(c-9)

2)
Calculer |z_A| et |z_B| et conclure ...

3)
Vecteur(OA) = (3 ; RacineCarrée(c-9))
Vecteur(OB) = (3 ; -RacineCarrée(c-9))

Vecteur(OA).Vecteur(OB) = 9 - (c - 9) = 18 - c
Le triangle OAB sera rectangle en O, si Vecteur(OA).Vecteur(OB) = 0 ... donc si c = 18

Une autre méthode par Pythagore.
Le triangle OAB sera rectangle en O, si |AB|² = |OA|² + |OB|²

On a directement OA² et OB² en s'aidant de la question 2.
Et on a ]AB = |z_A-z_B| = 2.RacineCarré(c-9)
Donc AB² = 4(c-9)

On cherche la valeur de c pour laquelle |AB|² = |OA|² + |OB|²
...
**********
Amorce d'aide pour l'ex 2.

u_n = z_n - z_A = z_n - 4 - 2i
u_(n+1) = z_(n+1) - 4 - 2i
u_{n+1} = ((1/2) i . z_n + 5) - 4 - 2i
...
en travaillant un peu à partir de la ligne précédente, tu devrais arriver à : u_(n+1) = (1/2).i . X u_n

Essaie et continue ...

Si tu cales, écris sur le site ce que tu as fait (rien ou je n'y arrive pas n'est pas suffisant) et il y aura bien un ou l'autre pour t'aider à avancer.

volcano47 · le 23 octobre 2023

comme dit black jack , écris que U(n+1) = Z(n+1) -Za (définition de Un)

, remplace Z(n+1) par son expression en fonction de Zn (début de l'exercice : à cet étape , U(n+1) =iZn/2 +5 -Za

Mais on a ici "du U" exprimé en fonction de Z , or on cherche à exprimer "quelque chose en U" en fonction de "quelque chose AUSSI en U" .

Donc remplace Zn par Un +Za ; à ce moment tu as U(n+1) = iUn/2 +iZa +5 -Za; et Za est connu , tu vois qu'il y a une logique puisque tu te rapproches de (Un+1) en fonction de Un comme demandé

on n'a plus qu'à faire le calcul et on arrive bien à l'expression 1)a) qui définit une suite géométrique

b) ensuite tu pourras écrire U(n+1) /Un = Un/U(n-1) =......= U1/U0 , puis tu multiplies toutes ces fractions entre elles (comme tu as dû faire en général pour les suites géométriques ) , et des termes s'éliminent pour donner en fin de calcul, ce qu'on te demande de démontrer , mais cherche un peu.

Baaaaaadet · le 23 octobre 2023

Il y a 12 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

Je fais le premier ... que tu dois arriver à comprendre et refaire seul ensuite.

Ex 1

1)
a)
z² - 6z + c = 0 avec c dans R et > 9

Delta = (-6)² - 4c = 36 - 4c = 4(9 - c)
Comme c > p, Delta < 0 et donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées non réelles.

b) RacineCarré(Delta) = +/- 2i . RacineCarrée(c-9)

Les 2 solutions sont donc : z_A = (6 + 2i . Racinecarrée{c-9)/2 = 3 + i . Racinecarrée{c-9[/tex]
et z_B = (6 - 2i. RacineCarrée{c-9))/2 = 3 - i. RacineCarrée(c-9)

2)
Calculer |z_A| et |z_B| et conclure ...

3)
Vecteur(OA) = (3 ; RacineCarrée(c-9))
Vecteur(OB) = (3 ; -RacineCarrée(c-9))

Vecteur(OA).Vecteur(OB) = 9 - (c - 9) = 18 - c
Le triangle OAB sera rectangle en O, si Vecteur(OA).Vecteur(OB) = 0 ... donc si c = 18

Une autre méthode par Pythagore.
Le triangle OAB sera rectangle en O, si |AB|² = |OA|² + |OB|²

On a directement OA² et OB² en s'aidant de la question 2.
Et on a ]AB = |z_A-z_B| = 2.RacineCarré(c-9)
Donc AB² = 4(c-9)

On cherche la valeur de c pour laquelle |AB|² = |OA|² + |OB|²
...
**********
Amorce d'aide pour l'ex 2.

u_n = z_n - z_A = z_n - 4 - 2i
u_(n+1) = z_(n+1) - 4 - 2i
u_{n+1} = ((1/2) i . z_n + 5) - 4 - 2i
...
en travaillant un peu à partir de la ligne précédente, tu devrais arriver à : u_(n+1) = (1/2).i . X u_n

Essaie et continue ...

Si tu cales, écris sur le site ce que tu as fait (rien ou je n'y arrive pas n'est pas suffisant) et il y aura bien un ou l'autre pour t'aider à avancer.

Pour la 1)b) je ne comprend pas comment vous avez fais

Modifié le 23 octobre 2023 par Baaaaaadet

Black Jack · le 24 octobre 2023

Il y a 10 heures, Baaaaaadet a dit :

Pour la 1)b) je ne comprend pas comment vous avez fais

Bonjour,

Les solutions d'une équation du second degré : a.x² + bx + c = 0 sont x = (-b +/- RCarrée(b²-4ac))/(2a)

pour z² - 6z + c = 0, on a a = 1, b = -6 et c = c, donc les solutions sont z = [6 +/- RCarrée(6² - 4*1*c)]/2

z =[6 +/- RCarrée(36-4c)]/2

z = (6 +/- 2.Rcarrée(9-c)]/2

z = 3 +/- Rcarrée(9-c)

MAIS, comme c > 9, 9-c < 0 et donc : 9-c = i².(c-9) (avec c-9 > 0)

z = 3 +/- Rcarrée(i².(c-9))

z = 3 +/- i.Rcarrée(c-9)

zA = 3 + i.Rcarrée(c-9)

zB = 3 - i.Rcarrée(c-9)

******

Autre méthode : (par la forme canonique)

z² - 6z + c = 0

z² - 6z + 9 - 9 + c = 0

(z-3)² - 9 + c = 0

(z-3)² = 9 - c

MAIS, comme c > 9, 9-c < 0 et donc : 9-c = i².(c-9) (avec c-9 > 0)

(z-3)² = i²(c - 9)

z-3 = +/- RacineCarrée[i²(c - 9)]

z-3 = +/- i * RacineCarrée(c - 9)

z = 3 +/- i.Rcarrée(c-9)

zA = 3 + i.Rcarrée(c-9)

zB = 3 - i.Rcarrée(c-9)

volcano47 · le 24 octobre 2023

oui mais là, c'est un problême d'apprentissage de cours; je suppose, baaadet que même l'équation du second degré en général n'est pas assimilée ?

Baaaaaadet · le 30 octobre 2023

Le 24/10/2023 à 09:09, Black Jack a dit :

Bonjour,

Les solutions d'une équation du second degré : a.x² + bx + c = 0 sont x = (-b +/- RCarrée(b²-4ac))/(2a)

pour z² - 6z + c = 0, on a a = 1, b = -6 et c = c, donc les solutions sont z = [6 +/- RCarrée(6² - 4*1*c)]/2

z =[6 +/- RCarrée(36-4c)]/2

z = (6 +/- 2.Rcarrée(9-c)]/2

z = 3 +/- Rcarrée(9-c)

MAIS, comme c > 9, 9-c < 0 et donc : 9-c = i².(c-9) (avec c-9 > 0)

z = 3 +/- Rcarrée(i².(c-9))

z = 3 +/- i.Rcarrée(c-9)

zA = 3 + i.Rcarrée(c-9)

zB = 3 - i.Rcarrée(c-9)

******

Autre méthode : (par la forme canonique)

z² - 6z + c = 0

z² - 6z + 9 - 9 + c = 0

(z-3)² - 9 + c = 0

(z-3)² = 9 - c

MAIS, comme c > 9, 9-c < 0 et donc : 9-c = i².(c-9) (avec c-9 > 0)

(z-3)² = i²(c - 9)

z-3 = +/- RacineCarrée[i²(c - 9)]

z-3 = +/- i * RacineCarrée(c - 9)

z = 3 +/- i.Rcarrée(c-9)

zA = 3 + i.Rcarrée(c-9)

zB = 3 - i.Rcarrée(c-9)

Ok merci j'ai réussi à faire l'exercice 1 et 2 sans problème et sans faute. Juste une question pour la question 3 de l'exercice 1 comment avez-vous fait pour trouver les vecteurs OA et OB

julesx · le 30 octobre 2023

Voir la partie de cours "complexes et géométrie". Celle ci te dit en particulier

Donc, à zA=3+i√(c-9) on associe le vecteur OA de coordonnées (3;√(c-9)) et à zB on associe le vecteur OB de coordonnées (3;-√(c-9))

Baaaaaadet · le 30 octobre 2023

Il y a un dernier exercice où je bloque svp

Black Jack · le 30 octobre 2023

il y a 31 minutes, Baaaaaadet a dit :

Il y a un dernier exercice où je bloque svp

Bonjour,

1)
P(2) = ... = 0

Jadis on aurait fait ceci :

P(z) = z³ + 2(V2 - 1)z² + 4(1 - V2)z - 8 (avec V pour racine carrée)

P(z) = z³ - 2z² + 2.V2 . z² + 4(1 - V2)z - 8
P(z) = z³ - 2z² + 2.V2 . z² - 4.V2z + 4z - 8
P(z) = z²(z - 2) + 2V2.z.(z - 2) + 4(z - 2)
P(z) = (z - 2).(z² + 2V2.z + 4)

2)
P(z) = 0 si z = 2 ou si (z² + 2V2.z + 4) = 0

z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² + 2
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² - 2i²
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² - (V2.i)²
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2 - V2.i).(z + V2 + V2.i)

z1 = -V2 + V2.i
z2 = -V2 - V2.i

z1 + z2 = -2V2

|z1| = V[(-V2)² + (V2)²]
|z1| = 2

|z2| = ...

A comprendre et continuer ...

Baaaaaadet · le 30 octobre 2023

Il y a 2 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

1)
P(2) = ... = 0

Jadis on aurait fait ceci :

P(z) = z³ + 2(V2 - 1)z² + 4(1 - V2)z - 8 (avec V pour racine carrée)

P(z) = z³ - 2z² + 2.V2 . z² + 4(1 - V2)z - 8
P(z) = z³ - 2z² + 2.V2 . z² - 4.V2z + 4z - 8
P(z) = z²(z - 2) + 2V2.z.(z - 2) + 4(z - 2)
P(z) = (z - 2).(z² + 2V2.z + 4)

2)
P(z) = 0 si z = 2 ou si (z² + 2V2.z + 4) = 0

z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² + 2
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² - 2i²
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2)² - (V2.i)²
z² + 2V2.z + 4 = (z + V2 - V2.i).(z + V2 + V2.i)

z1 = -V2 + V2.i
z2 = -V2 - V2.i

z1 + z2 = -2V2

|z1| = V[(-V2)² + (V2)²]
|z1| = 2

|z2| = ...

A comprendre et continuer ...

J'ai compris jusqu'à présent, je trouve également V2 pour |z2| mais je bloque pour les arguments

julesx · le 31 octobre 2023

Bonjour,

Il y a 15 heures, Baaaaaadet a dit :

J'ai compris jusqu'à présent, je trouve également V2 pour |z2| mais je bloque pour les arguments

J'espère que c'est une erreur de transcription ! Black Jack a trouvé 2 comme module, Donc, ce n'est pas "également √2".
De toute façon, comme z₂ est le conjugué de z₁, on a |z₂|=|z₁| =2.

En ce qui concerne les arguments, une fois de plus, le cours te donne la méthode.
On a cosθ=Réel(z)/|z| et sinθ=Imaginaire(z)/|z|
Par contre, il est important de calculer les deux car l'argument n'est pas forcément compris entre 0 et π.

Donc, comme ici, z₁=-√2+i√2, on a
cosθ=-√2/2 donc θ=±3π/4
sinθ=√2/2
Comme le sinus est positif, un argument de z₁ est donc de 3π/4.

On procède de même pour z₂=-√2-i√2
cosθ=-√2/2
sinθ=-√2/2
Comme le sinus est négatif, un argument de z₂ est donc de -3π/4.

On peut évidemment retrouver directement ces valeurs à l'aide du cercle trigonométrique. On peut aussi noter que, comme les deux complexes sont conjugués, leurs arguments sont opposés.
On peut aussi vérifier ces valeurs à l'aide de la transformations cartésienne-polaire de la calculette, mais sauf modèle spécial, elle ne retourne pas de valeur exacte en radians.

volcano47 · le 31 octobre 2023

si Black Jack écrit z1 = -V2+i V2 , c'est que l'argument A de z1 est tel que sin A = -V2/2 ; géométriquement , le nombre z1 est représenté par le vecteur OM1 tel que M1 = (-V2, V2) dans le plan complexe ; ce nombre z1 a pour module 2 , pour argument arcsin (-V2/2) donc 3pi/4

ou encore : M est l'extrémité du petit carré de côté V2 de diagonale OM1 , cette diagonale ayant pour longueur :

(V2)(V2) =2 qui est la valeur de mod z1. L'argument de z1 est donc Pi/2 +Pi/4 = 3pi/4

Baaaaaadet · le 31 octobre 2023

Ok merci, j'ai compris (oui, c'est une erreur de transcription, je voulais dire 2), puis-je avoir de l'aide sur la question 3 svp

julesx · le 31 octobre 2023

il y a 13 minutes, Baaaaaadet a dit :

Ok merci, j'ai compris (oui, c'est une erreur de transcription, je voulais dire 2), puis-je avoir de l'aide sur la question 3

C'est pratiquement que de la géométrie. Fais les parties a) et b), par exemple avec Geogebra pour le a) et poste le tracé.

Baaaaaadet · le 31 octobre 2023

il y a 28 minutes, julesx a dit :

C'est pratiquement que de la géométrie. Fais les parties a) et b), par exemple avec Geogebra pour le a) et poste le tracé.

Je n'arrive pas a placer le point A

julesx · le 31 octobre 2023

Mais les coordonnées de A sont(2,0), donc 2 en abscisse et 0 en ordonnée !
Et pour B et C, c'est faux.
B abscisse -√2 ordonnée √2
C abscisse -√2 ordonnée -√2
Il n'y a aucune raison de passer par des angles, qui sont faux de toute façon.

En fait, entre temps, j'ai compris ton erreur. Tu dois entrer les coordonnées cartésiennes séparées par une virgule, pas par un point-virgule. Le point-virgule fait croire à Geogebra que ce sont des coordonnées polaires, d'où les angles.

Donc, revois le tracé en entrant
A=(2,0)
B=(-√2,√2)
C=(-√2,-√2)

Black Jack · le 31 octobre 2023

Bonjour,

Exercice 1, question 3.

[url=https://zupimages.net/viewer.php?id=23/44/jru1.png][img]https://zupimages.net/up/23/44/jru1.png[/img][/url]

Les points A et B se trouvent sur la droite rouge (abscisse = 3 dan plan complexe)

L'ordonnée de A est : RacineCarrée(c-9)

L'ordonnée de B est : - RacineCarrée(c-9)

Donc évidemment les positions des points A et B dépendent de la valeur de c.

On demande quelle valeur de c il faut pour que le triangle AOB soit rectangle en O.

...

Modifié le 31 octobre 2023 par Black Jack

PAVE · le 31 octobre 2023

En passant... https://zupimages.net/viewer.php?id=23/44/jru1.png

julesx · le 31 octobre 2023

Lorsque tu reviendras, revois mon message précédent.

Baaaaaadet · le 31 octobre 2023

Excusez-moi pour la confusion, je parlais de la question 3 de l'exercice 3, car j'ai déjà fini les 2 premiers exercices

julesx · le 31 octobre 2023

Donc reviens à ça et trace correctement les points A,B et C compte tenu de ma remarque.

Baaaaaadet · le 31 octobre 2023

il y a 5 minutes, julesx a dit :

Donc reviens à ça et trace correctement les points A,B et C compte tenu de ma remarque.

il y a 12 minutes, julesx a dit :

Donc reviens à ça et trace correctement les points A,B et C compte tenu de ma remarque.

voila normalement c'est bon

julesx · le 31 octobre 2023

C'est bien ça. Continue

Baaaaaadet · le 31 octobre 2023

il y a 5 minutes, julesx a dit :

C'est bien ça. Continue

je trouve que OA=|z_a|=2 et OB=|z_1|=2 Donc OAB est un triangle isocèle Mais je ne comprend pas la suite

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