Exo suites

[Thamirah]

Bonjour, 

J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît. Merci d’avance 

[volcano47]

je pense qu'on peut étudier f(x) = (x+x²+.....+x^n )-1

aux bornes de l'intervalle considéré, f(0) = -1 et f(1)= n-1  0 (puisque n>=1)

donc f(x) change de signe au moins une fois entre 0 et 1 (inclus) passant de négative à positive.

f'(x) =1+2x+3x²+......+ nx^(n-1) est positive sur l'intervalle considéré puisque somme de termes toujours positifs (x>=1)

f(x) croissante sur l'intervalle ne change de signe qu'une seule fois , il y a un théorème qui doit indiquer que an est unique , je ne me souviens pas de son énoncé exactemais c'est du bon sens : f(x) n'oscille pas donc ne traverse pas plusieurs fois l'axe des x plusieurs fois sur [0,1] ; mais mieux vaut citer le théorème. 

La suite je n'ai pas regardé

 

 

[julesx]

Bonjour,

Une alternative, utiliser le fait que x+x²+...+xⁿ =x(1+x+...+x^n-1)=x(1-xⁿ)/(1-x) (justification par exemple à partir de la somme des termes d'une suite géométrique).
L'équation devient alors x(1-xⁿ)/(1-x) =1 soit, après réarrangement xⁿ⁺¹-2x+1=0.

Le cas trivial n=1 conduit à (x-1)²=0 soit x=1 qui est bien une unique solution sur [0;1].

Pour n>1, on fait une étude classique de variations :
f'(x)=(n+1)*xⁿ-2 qui s'annule pour xⁿ=2/(n+1).
Cette valeur est bien comprise entre 0 et 1.
On en déduit que f(x) décroit à partir de f(0)=1 puis croit jusqu'à f(1)=0 et est donc forcément négatif avant.
D'après le corollaire du TVI, on en déduit que f(x) s'annule une fois sur l'intervalle [0;racine nième de 2/(n+1)] pour ne plus s'annuler ensuite que pour x=1.
A noter que cela contredit l'énoncé qui considère l'intervalle fermé [0;1] sur lequel on a en fait 2 solutions.

Par contre, je n'ai pas réussi à démonter que la suite α_n est décroissante et tend vers une limite.
Intuitivement, α_n vérifie α_nⁿ⁺¹-2α_n+1=0 soit α_n=1/2(1+α_nⁿ⁺¹). Comme α_n est inférieur à 1, le terme α_nⁿ⁺¹ tend vers 0 donc α_n doit tendre vers 1/2 ce qu'on peut vérifier par exemple à l'aide de Geogebra.

 

[julesx]

D'habitude, je vérifie l'historique du demandeur et là, j'ai oublié. Si je l'avais fait, je ne me serais pas cassé la tête car il y a eu 3 demandes différentes avec, à chaque fois, des réponses mais sans AUCUNE réaction de Thamirah. On ne m'y reprendra plus.