Thamirah Posté(e) le 26 février 2023 Signaler Share Posté(e) le 26 février 2023 Bonjour, J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît. Merci d’avance Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
volcano47 Posté(e) le 26 février 2023 Signaler Share Posté(e) le 26 février 2023 je pense qu'on peut étudier f(x) = (x+x²+.....+x^n )-1 aux bornes de l'intervalle considéré, f(0) = -1 et f(1)= n-1 0 (puisque n>=1) donc f(x) change de signe au moins une fois entre 0 et 1 (inclus) passant de négative à positive. f'(x) =1+2x+3x²+......+ nx^(n-1) est positive sur l'intervalle considéré puisque somme de termes toujours positifs (x>=1) f(x) croissante sur l'intervalle ne change de signe qu'une seule fois , il y a un théorème qui doit indiquer que an est unique , je ne me souviens pas de son énoncé exactemais c'est du bon sens : f(x) n'oscille pas donc ne traverse pas plusieurs fois l'axe des x plusieurs fois sur [0,1] ; mais mieux vaut citer le théorème. La suite je n'ai pas regardé Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 26 février 2023 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 26 février 2023 Bonjour, Une alternative, utiliser le fait que x+x²+...+xn =x(1+x+...+xn-1)=x(1-xn)/(1-x) (justification par exemple à partir de la somme des termes d'une suite géométrique). L'équation devient alors x(1-xn)/(1-x) =1 soit, après réarrangement xn+1-2x+1=0. Le cas trivial n=1 conduit à (x-1)²=0 soit x=1 qui est bien une unique solution sur [0;1]. Pour n>1, on fait une étude classique de variations : f'(x)=(n+1)*xn-2 qui s'annule pour xn=2/(n+1). Cette valeur est bien comprise entre 0 et 1. On en déduit que f(x) décroit à partir de f(0)=1 puis croit jusqu'à f(1)=0 et est donc forcément négatif avant. D'après le corollaire du TVI, on en déduit que f(x) s'annule une fois sur l'intervalle [0;racine nième de 2/(n+1)] pour ne plus s'annuler ensuite que pour x=1. A noter que cela contredit l'énoncé qui considère l'intervalle fermé [0;1] sur lequel on a en fait 2 solutions. Par contre, je n'ai pas réussi à démonter que la suite αn est décroissante et tend vers une limite. Intuitivement, αn vérifie αnn+1-2αn+1=0 soit αn=1/2(1+αnn+1). Comme αn est inférieur à 1, le terme αnn+1 tend vers 0 donc αn doit tendre vers 1/2 ce qu'on peut vérifier par exemple à l'aide de Geogebra. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 26 février 2023 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 26 février 2023 D'habitude, je vérifie l'historique du demandeur et là, j'ai oublié. Si je l'avais fait, je ne me serais pas cassé la tête car il y a eu 3 demandes différentes avec, à chaque fois, des réponses mais sans AUCUNE réaction de Thamirah. On ne m'y reprendra plus. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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