Exercice physique terminale cinématique du point urgent

[joanatrrs]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice de physique sur la cinématique du point. 
J'ai fait plusieurs exercices sur ce chapitre sans trop de difficultés, mais je suis incapable de réussir celui-ci. Je ne comprends pas comment trouver la trajectoire d'un cône. Or, j'aimerais vraiment comprendre avec la correction avant mon contrôle sur ce chapitre ce jeudi. C'est très urgent, et je vous serais réellement reconnaissante si vous pouviez m'aider en m'expliquant de manière détaillée comment résoudre l'exercice. 

Titre exercice : Trajectoire sur un cône 

Un point matériel M a un mouvement dans l’espace défini, pour tout t (supérieur ou égal à) 0, par les équations horaires suivantes :
x(t) = 𝑒^𝑡 x sin 𝑡
y(t) = 𝑒^𝑡 x cos 𝑡
z(t) = 𝑒^𝑡
1. Exprimer la norme des vecteurs vitesse et accélération.
2. Déterminer la valeur de l’angle 𝛼 = (vecteur OM, vecteur 𝑢𝑧)

PS : je ne sais pas comment mettre des puissances alors e^t signifie exponentielle à la puissance de t. J'ai mis l'exercice en pièce jointe. 

[Black Jack]

Bonjour,

1)

x(t) = e^t * sin(t)
y(t) = e^t *  cos(t)
z(t) = e^t

calcul des composantes de la vitesse suivant les 3 axes du repère :

vx(t) = dx/dt = e^t * (cos(t) + sin(t))
vy(t) = dy/dt = e^t * (cos(t) - sin(t))
vz(t) = dz/dt = e^x

|v| = sqrt((vx)² + (vy)² + (vz)²)

|v| = sqrt[(e^t * (cos(t) + sin(t)))² + (e^t * (cos(t) - sin(t)))² + (e^t)²]
|v| = e^t * sqrt[(cos(t) + sin(t))² + (cos(t) - sin(t))² + 1]
|v| = e^t * sqrt[cos²(t) + sin²(t) + 2.sin(t).cos(t) + cos²(t) + sin²(t) - 2.sin(t).cos(t) + 1]

|v| = e^t * sqrt[3]
****
Pour l'accélération ...

calcul des composantes de l'accélération suivant les 3 axes du repère :

on calcule
ax(t) = d(vx)/dt = ...
ay(t) = d(vy)/dt = ...
az(t) = d(vz)/dt = ...

Et |a| =  sqrt((ax)² + (ay)² + (az)²) = ...
****
2)
O(0 ; 0 ; 0)
M(e^t * sin(t) ; e^t * cos(t) ; e^t)

vect(OM) = (e^t * sin(t) ; e^t * cos(t) ; e^t)
vect(uz) = (0 ; 0 ; 1)

vect(OM).vect(uz) = e^t * sin(t) * 0 + e^t * cos(t) * 0 + e^t * 1 = e^t

|OM| = sqrt[(e^t * sin(t))² + (e^t * cos(t))² + (e^t)²] = e^t * sqrt(2)
|uz| = 1

vect(OM).vect(uz) = |OM| * |uz| * cos(alpha)
e^t = e^t * sqrt(2) * cos(alpha)
cos(alpha) = 1/sqrt(2)
alpha = Pi/4

*****

rien relu et donc ... toutes erreurs incluses.

 

[joanatrrs]

  Le 18/01/2023 à 08:35, Black Jack a dit :

Bonjour,

1)

x(t) = e^t * sin(t)
y(t) = e^t *  cos(t)
z(t) = e^t

calcul des composantes de la vitesse suivant les 3 axes du repère :

vx(t) = dx/dt = e^t * (cos(t) + sin(t))
vy(t) = dy/dt = e^t * (cos(t) - sin(t))
vz(t) = dz/dt = e^x

|v| = sqrt((vx)² + (vy)² + (vz)²)

|v| = sqrt[(e^t * (cos(t) + sin(t)))² + (e^t * (cos(t) - sin(t)))² + (e^t)²]
|v| = e^t * sqrt[(cos(t) + sin(t))² + (cos(t) - sin(t))² + 1]
|v| = e^t * sqrt[cos²(t) + sin²(t) + 2.sin(t).cos(t) + cos²(t) + sin²(t) - 2.sin(t).cos(t) + 1]

|v| = e^t * sqrt[3]
****
Pour l'accélération ...

calcul des composantes de l'accélération suivant les 3 axes du repère :

on calcule
ax(t) = d(vx)/dt = ...
ay(t) = d(vy)/dt = ...
az(t) = d(vz)/dt = ...

Et |a| =  sqrt((ax)² + (ay)² + (az)²) = ...
****
2)
O(0 ; 0 ; 0)
M(e^t * sin(t) ; e^t * cos(t) ; e^t)

vect(OM) = (e^t * sin(t) ; e^t * cos(t) ; e^t)
vect(uz) = (0 ; 0 ; 1)

vect(OM).vect(uz) = e^t * sin(t) * 0 + e^t * cos(t) * 0 + e^t * 1 = e^t

|OM| = sqrt[(e^t * sin(t))² + (e^t * cos(t))² + (e^t)²] = e^t * sqrt(2)
|uz| = 1

vect(OM).vect(uz) = |OM| * |uz| * cos(alpha)
e^t = e^t * sqrt(2) * cos(alpha)
cos(alpha) = 1/sqrt(2)
alpha = Pi/4

*****

rien relu et donc ... toutes erreurs incluses.

 

Expand  

Merci beaucoup ! pouvez vous me dire ce que signifie "sqrt" svp ? Et aussi comment sait-on que c'est un cône ? 

[Black Jack]

  Le 18/01/2023 à 12:52, joanatrrs a dit :

Merci beaucoup ! pouvez vous me dire ce que signifie "sqrt" svp ? Et aussi comment sait-on que c'est un cône ? 

Expand  

Bonjour,

"sqrt" pour Racine carrée.  (abréviation venant de l'anglais : Square root)

On sait que c'est un cône ... parce que l'énoncé l'a précisé.

Mais, même si cela n'avait pas été écrit dans l'énoncé, on pouvait le savoir, puisque on a montré que l'angle alpha est une constante et que donc ...

[joanatrrs]

  Le 18/01/2023 à 13:00, Black Jack a dit :

Bonjour,

"sqrt" pour Racine carrée.  (abréviation venant de l'anglais : Square root)

On sait que c'est un cône ... parce que l'énoncé l'a précisé.

Mais, même si cela n'avait pas été écrit dans l'énoncé, on pouvait le savoir, puisque on a montré que l'angle alpha est une constante et que donc ...

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D'accord merci pour votre aide ! 

[joanatrrs]

  Le 18/01/2023 à 08:35, Black Jack a dit :

e^t = e^t * sqrt(2) * cos(alpha)

Expand  

Excusez-moi, je crois que vous avez fait une erreur ici car la norme de uz vaut 1 et pas e^t. Mais dans ce cas-là, je trouve que la valeur de cos(alpha) est de e^t/2. Ce n'est pas possible, si ? Parce que du coup je ne sais pas comment déterminer l'angle. 

  Le 18/01/2023 à 14:43, joanatrrs a dit :

Excusez-moi, je crois que vous avez fait une erreur ici car la norme de uz vaut 1 et pas e^t. Mais dans ce cas-là, je trouve que la valeur de cos(alpha) est de e^t/2. Ce n'est pas possible, si ? Parce que du coup je ne sais pas comment déterminer l'angle. 

Expand  

Autant pour moi ! Je me suis trompée 

[volcano47]

juste une petite précision : il ne faut pas écrire "comment trouver la trajectoire d'un cône" ; d'abord parce qu'on parle de trajectoire du point matériel considéré. Ensuite un cône est une surface donc pas une trajectoire.

Comme l'angle de OM avec oz est constant la trajectoire est contenue dans la surface du cône mais je ne vois pas trop ce que peut être sa forme , sans doute une sorte d'hélice dont le "pas" croit extrémement vite avec le temps. Mais de toute façon, on ne nous le demande pas !

[julesx]

Bonjour volcano,

En fait, le texte initial était "trajectoire sur un cône" . Ci-joint l'allure tracée avec Geogebra. A noter que j'ai triché en changeant sint(t) en sint(20t) ainsi que cos(t) en cos(20t) car, comme e^t augmente très rapidement, je n'ai pas réussi à afficher plusieurs révolutions avec les équations d'origine (ici t varie entre 0 6,28).