Suite homographique

[Woufou]

Bonjour j’ai 2 exercice a faire mais j’arrive pas.

j’ai commencer la question 1 de l’exercice 2 mais je ne comprends ni l’exercice 1 ni le reste de l’exercice 2.

pouvez vous m’aider svp 

merci d’avance.

[julesx]

Bonjour,

Pour l'exercice 1, utilise la propriété suivante et sa réciproque:
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe .

[Black Jack]

Bonjour,

ex 2

Tu as fait des erreurs.

1.a)

Tu as utilisé (2-Un) au dénominateur de U(n+1) au lieu de (2+Un) ... et donc tes calculs sont faux (2 ème erreur dans le calcul de U1 qui compense l'autre erreur)

Tu devrais trouver : U1 = 1,4 et U2 = (4 - 1,4)/(2 + 1,4) = 2,6/3,4 = 26/34 = 13/17 (soit environ 0,764)

Et donc la réponse à 1.b n'est pas celle que tu as indiquée.
***********
2.a) Comme U(n) > 0, Un + 4 n'est jamais nul et donc ...

**********
2.b)
vn = (Un - 1)/(Un + 4)

v(n+1) = (U(n+1) - 1)/(U(n+1) + 4)
Tu remplaces là dedans U(n+1) par (4-Un)/(2 + Un).
On simplifie la relation obtenue et tu devrais arriver à montrer qu'on arrive à v(n+1) = -(2/3) * (Un -1)/(U1+4) et que donc :

v(n+1) = -(2/3)*V(n)

Et donc ...

[Woufou]

 

Le 21/10/2022 à 12:19, julesx a dit :

Bonjour,

Pour l'exercice 1, utilise la propriété suivante et sa réciproque:
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe .

par rapport à la propriété, j’ai écrit que:

sachant que e^f(x)a la meme dérive et la meme dérivée seconde alors on peut conclure que g(x) est convexe. 
 

ca devrait etre correct la ? 

Modifié le 22 octobre 2022 par Ameliaaaaaaa

[Woufou]

Il y a 23 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

ex 2

Tu as fait des erreurs.

1.a)

Tu as utilisé (2-Un) au dénominateur de U(n+1) au lieu de (2+Un) ... et donc tes calculs sont faux (2 ème erreur dans le calcul de U1 qui compense l'autre erreur)

Tu devrais trouver : U1 = 1,4 et U2 = (4 - 1,4)/(2 + 1,4) = 2,6/3,4 = 26/34 = 13/17 (soit environ 0,764)

Et donc la réponse à 1.b n'est pas celle que tu as indiquée.
***********
2.a) Comme U(n) > 0, Un + 4 n'est jamais nul et donc ...

**********
2.b)
vn = (Un - 1)/(Un + 4)

v(n+1) = (U(n+1) - 1)/(U(n+1) + 4)
Tu remplaces là dedans U(n+1) par (4-Un)/(2 + Un).
On simplifie la relation obtenue et tu devrais arriver à montrer qu'on arrive à v(n+1) = -(2/3) * (Un -1)/(U1+4) et que donc :

v(n+1) = -(2/3)*V(n)

Et donc ...

J’ai donc rectifier pour la question 1. 
pour la question deux, j’ai écrit: 

comme Un> 0 

Un+4 >0 n’est jamais nul donc 

U_n+1>ou =0

U₀[0;+infinie[ alors pour tous n>ou= 1 

U_n>0 donc la suite est bien définie.

[volcano47]

"sachant que e^f(x)a la meme dérive et la meme dérivée seconde alors on peut conclure que g(x) est convexe. "

un peu rapide...! . (Dans ce qui suit, on se place dans l'intervalle I dont parle l'énoncé)

g(x)=e^f(x) ==>

g'(x)= g'/u. u'/x fonction composée ("fonction de fonction") où u(x)= f(x) )

donc g'(x)= e^u . u'(x) ; ici  g'(x)= g(x) . f'(x) 

f'(x)= g'(x) / g(x) et on dérive ça puisqu'on va utiliser une propriété de f'' (x), c'est logique . On a la dérivée d'un rapport de fonctions (type ( u'v -uv' )/v² selon les notations habituelles de la dérivée de u/v)

f" (x)= ( g"(x).g(x) - g'(x) .g'(x) ) / g(x)² et on sait que f(x) convexe donc f" (x) >0 ; le numérateur g(x) ² est 0 en tant que carré

d'où (en simplifiant la notation) g".g - g' ²   0

g" .g g'² 0 (carré) 

or, g est une exponentielle, donc g(x) 0 pour tout x (et donc pour tout f(x)

et donc g" (x) 0 et donc et donc .....

[julesx]

.

[volcano47]

commentaire sur la fonction convexe : pour mieux visualiser les choses, la courbe est du genre  "bombée vers le bas" (notion non rigoureuse mais seulement imagée) comme la parabole, l'exponentielle etc....

On voit bien que la tangente (sur l'intervalle considéré où la fonction et convexe) est toujours de pente croissante (de plus en plus verticale) et donc que sa dérivée, la dérivée seconde de la fonction de départ) est 0 sur l'intervalle en question.

[Woufou]

il y a une heure, volcano47 a dit :

"sachant que e^f(x)a la meme dérive et la meme dérivée seconde alors on peut conclure que g(x) est convexe. "

un peu rapide...! . (Dans ce qui suit, on se place dans l'intervalle I dont parle l'énoncé)

g(x)=e^f(x) ==>

g'(x)= g'/u. u'/x fonction composée ("fonction de fonction") où u(x)= f(x) )

donc g'(x)= e^u . u'(x) ; ici  g'(x)= g(x) . f'(x) 

f'(x)= g'(x) / g(x) et on dérive ça puisqu'on va utiliser une propriété de f'' (x), c'est logique . On a la dérivée d'un rapport de fonctions (type ( u'v -uv' )/v² selon les notations habituelles de la dérivée de u/v)

f" (x)= ( g"(x).g(x) - g'(x) .g'(x) ) / g(x)² et on sait que f(x) convexe donc f" (x) >0 ; le numérateur g(x) ² est 0 en tant que carré

d'où (en simplifiant la notation) g".g - g' ²   0

g" .g g'² 0 (carré) 

or, g est une exponentielle, donc g(x) 0 pour tout x (et donc pour tout f(x)

et donc g" (x) 0 et donc et donc .....

J’ai beaucoup de mal à comprendre. 
pour moi comme g(x) est une exponentielle et que f(x) est convexe lorsqu’on derrive g (x) on a la fonction f(x) convexe et l’exponentielle aussi donc g(x) est forcément convexe.

mais avec une vrai démonstration je n’y arrive pas..

[julesx]

Remarque préliminaire : J'avais effacé ma réponse simpliste vu que volcano avait répondu de façon plus complète.

Moi, j'aurais dit que, sur l'intervalle considéré, :
f(x) convexe => f"(x)≥0
g(x) est convexe si g"(x)≥0 donc il faut calculer g"(x).
g(x)=e^f(x) => g'(x)=f'(x)e^f(x) (cf. dérivée de e^u)
g'(x)=f'(x)e^f(x) => g"(x)=f"(x)e^f(x)+f'(x)*f'(x)e^f(x) (cf. dérivée de uv)
f"(x)e^f(x)+f'(x)*f'(x)e^f(x)=(f"(x)+f'(x)²)e^f(x)
f"(x)≥0 f'(x)²≥0 e^f(x)≥0 => g"(x)≥0 donc g(x) est convexe.

[Woufou]

il y a 54 minutes, julesx a dit :

Remarque préliminaire : J'avais effacé ma réponse simpliste vu que volcano avait répondu de façon plus complète.

Moi, j'aurais dit que, sur l'intervalle considéré, :
f(x) convexe => f"(x)≥0
g(x) est convexe si g"(x)≥0 donc il faut calculer g"(x).
g(x)=e^f(x) => g'(x)=f'(x)e^f(x) (cf. dérivée de e^u)
g'(x)=f'(x)e^f(x) => g"(x)=f"(x)e^f(x)+f'(x)*f'(x)e^f(x) (cf. dérivée de uv)
f"(x)e^f(x)+f'(x)*f'(x)e^f(x)=(f"(x)+f'(x)²)e^f(x)
f"(x)≥0 f'(x)²≥0 e^f(x)≥0 => g"(x)≥0 donc g(x) est convexe.

D’accord merci je comprends mieux 

l’astérisque etant une multiplication si je comprends bien

[Woufou]

Pour la question 2a comment je peux dire que Vn est bien définie par rapport a Un ? 
je sais certe que Un est positif et que ducoup Un+4 est positif 

 

Mais je vois pas en quoi je peux dire grace a ca que Vn est bien definie.

[julesx]

il y a 15 minutes, Ameliaaaaaaa a dit :

l’astérisque etant une multiplication si je comprends bien

C'est ça. C'est le signe usuel sur les claviers d'ordinateurs.

il y a 2 minutes, Ameliaaaaaaa a dit :

Mais je vois pas en quoi je peux dire grace a ca que Vn est bien definie.

Je pense comme Black Jack que la notion de "défini" est ici à prendre au sens employé pour une fonction comportant un dénominateur : elle est entièrement définie si le dénominateur ne peut jamais s'annuler. C'est bien le cas ici, car u_n est supposée toujours positive donc u_n+4 ne peut pas s'annuler.

[Woufou]

il y a 5 minutes, julesx a dit :

C'est ça. C'est le signe usuel sur les claviers d'ordinateurs.

Je pense comme Black Jack que la notion de "défini" est ici à prendre au sens employé pour une fonction comportant un dénominateur : elle est entièrement définie si le dénominateur ne peut jamais s'annuler. C'est bien le cas ici, car u_n est supposée toujours positive donc u_n+4 ne peut pas s'annuler.

Donc en disant que la fonction est Un est supérieur a 0 pour tous n et sue ducoup avec +4 aussi ca devrait suffire ?

[julesx]

Ce n'est pas la fonction mais la suite, mais à ce détail près, c'est ce que nous pensons...

[Woufou]

il y a 7 minutes, julesx a dit :

Ce n'est pas la fonction mais la suite, mais à ce détail près, c'est ce que nous pensons...

Okay super !

donc la suite est geometrique de raison -(2/3) et le premier terme est -0,246. Si j’ai bien compris .

car

V_n+1= -(2/3)x Vn

et V0+1= -(2/3)x(1/2)-1/1,4+4.

[julesx]

Oui pour la raison, mais pas pour v₀.
v_n=(u_n-1)/(u_n+4) => v₀=(u₀-1)/(u₀+4) avec u₀=1/2. Il suffit de calculer la fraction mais garde le résultat exact sous forme de fraction à cause de la suite.

[Woufou]

il y a 6 minutes, julesx a dit :

Oui pour la raison, mais pas pour v₀. v_n=(u_n-1)/(u_n+4) => v₀=(u₀-1)/(u₀+4) avec u₀=1/2. Il suffit de calculer la fraction mais garde le résultat exact sous forme de fraction à cause de la suite.

Super merci j’ai compris !

je vais essayer de faire le reste seul 😂

[julesx]

OK, ça devrait aller d'autant pus qu'on te donne le résultat à trouver à la question 2)c).