Structure du groupe multiplicatif de Z_{12}

[Chaka]

Bonsoir,

Je me permets de poster ici un petit exercice d'algorithmique des corps finis.

Mon objectif est de déterminer la structure du groupe multiplicatif 

\mathbb{Z}_{12}

Les 2 candidats sont 

\mathbb{Z}_{4} \; \textrm{et} \; \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}

.
Je sens que la réponse est le deuxième candidat mais impossible de le justifier convenablement malgré une tentative via les ordres (je dois surement mal m'y prendre ...).

Si quelqu'un à une piste de réflexion, je suis preneur !

 

Merci par avance

 

Chaka

[Chaka]

Bon... 

Je viens de trouver ma grossière erreur de calcul dans mes ordres...

On a que (Z/2Z)² contient des éléments d'ordre au plus 2 alors que Z/4Z contient des éléments d'ordre au plus 4 et par ailleurs (Z/12Z)* (au sens du groupe multiplicatif) contient des éléments d'ordre au plus 2. D'où Z/4Z n'est pas un candidat valide.

 

Modifié le 11 juin 2022 par Chaka

[Chaka]

Bonjour,

Autre interrogation sur un exercice de la même forme concernant Z/35Z:

son groupe multiplicatif est d'ordre phi(35)=24=2^3 *3.

Les candidats possibles sont donc Z/24Z, Z/2Z x Z/12Z et Z/2Z x Z/2Z x Z/6Z

On étudie l'ordre de 2 et on trouve 12 comme ordre. On peut donc en déduire que Z/2Z x Z/2Z x Z/6Z n'est pas un bon candidat. Mais pourquoi ?! J'imagine encore un problème avec l'ordre des éléments de Z/2Z x Z/2Z x Z/6Z mais existe t-il une  astuce pour connaitre l'ordre des éléments de ce groupe ?