Variance

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

Soit la série statistique ordonnée suivante : 33,39,66,69,77,78,79,79,82,82,83,86,91

La moyenne est d'environ 72,6 et la valeur médiane est 79.

J'ai déterminé que la variance était égale à environ 284. 

Ma question est la suivante : comment interpréter la valeur de la variance ? Est-ce que 284 est "beaucoup" ou au contraire "assez peu" ? 

Je sais qu'une série dont toutes les valeurs seraient égales aurait une variance nulle, donc l'interprétation est assez simple, il n'y a aucune dispersion autour de la moyenne. Mais qu'en penser avec une valeur comme 284 ? J'aurais pu trouver 57 ou 831 que je n'aurais pas davantage su interpréter le résultat. 😅

 

Merci d'avance pour vos réponses ! 

Modifié le 3 mars 2022 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonjour,

Je poste, histoire d'amorcer la pompe, mais ne t'attend pas à autre chose que des généralités.

Par définition "la variance est l’écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne".  Plus la variance est élevée, plus la dispersion est importante, c'est à dire qu'il existe un certains nombre d'éléments très différents de la valeur moyenne de la distribution.

Par contre, avec la seule connaissance de la variance, on ne peut pas dire que c'est "beaucoup" ou "peu", il faut ramener cette valeur à celle de la moyenne. Pour moi, il vaudrait d'ailleurs mieux raisonner à partir de l'écart type (ou comparer la variance au carré de la valeur moyenne). Dans ton cas, l'écart type serait de 16,9 environ.

Cela dit, je préfère ne pas m'avancer plus. Les personnes qui ont l'habitude de jongler avec les statistiques t'en diront plus.

[C8H10N4O2]

Merci julesx, 

Oui on peut raisonner avec l'écart-type qui est la racine carrée de la variance, mais la question demeure : un écart-type de 16,9 qu'est-ce que ça nous dit sur la dispersion des valeurs ?

Admettons qu'on ne connaisse d'une série statistique que son écart-type, comment l'interpréter ? S'il vaut 0, j'en déduis que la série est très homogène, mais à partir de quelle valeur de variance ou d'écart-type peut-on se dire qu'il s'agit probablement d'une série présentant de fortes inhomogénéités ? 10 ? 20 ? plus ? 🤷‍♂️

[julesx]

Comme dit précédemment, pour moi, une valeur "nue" n'est pas interprétable. Un écart type de 10 n'a pas la même signification pour une moyenne de 100 et pour une moyenne de 1000.

[C8H10N4O2]

D'accord. J'en conclus que cet indicateur (variance ou écart-type) n'a d'intérêt que lorsqu'on compare plusieurs séries statistiques plutôt que lors de l'étude d'une seule série...

Merci pour ces éclaircissements !

[pzorba75]

L'écart-type est utilisé pour définir autour de la moyenne des intervalles de confiance au seuil de x%.

[PAVE]

@C8H10N4O2Je n'arrive pas à situer ton niveau de connaissances en maths au vu de tes différentes interventions sur ce site.

Pour satisfaire ta curiosité quant à l'interprétation de l'écart-type (plus facile à concrétiser que la variance) d'une variable statistique si on se cantonne aux statistiques descriptives, il faut sur des exemples étudier par exemple graphiquement la répartition des valeurs observées : un polygone des fréquences est une bonne approche pour apprécier la dispersion des valeurs autour d'une valeur centrale (moyenne par exemple).

Classiquement, on étudie la proportion de ces valeurs qui sont situées dans des intervalles centrés sur la moyenne et s'écartant de part et d'autre de cette moyenne de une fois, 2 fois, 3 fois... l'écart type.

Si la variable statistique est "normale" au sens commun du terme (c'est à dire ce que l'on observe le plus souvent !!), on constate que

* si on s'écarte de une fois l'écart-type de part et d'autre de la moyenne, on a environ 68% des valeurs observées.

* si on s'écarte de 2 fois l'écart-type de part et d'autre de la moyenne, on a environ 95% des valeurs observées.

* si on s'écarte de 3 fois l'écart-type de part et d'autre de la moyenne, on a environ 99% des valeurs observées.

Si on s'écarte de plus de 3 fois l'écart-type, il n'y a pratiquement plus de valeurs observables.

Ici s'arrête le domaine des statistiques descriptives.

Au delà de ces constatations empiriques (cours jusqu'en seconde, je crois), on aborde le domaine des probabilités où sont développés des modèles mathématiques théoriques formalisant ce qui a été observé en statistiques descriptives.

Lors de l'étude des variables aléatoires et tout particulièrement celles qui suivent une loi "normale" (au sens mathématique du terme cette fois), on montre que (extrait d'un document EN):

mais cela est une autre... histoire.

Je te conseille de trouver un livre scolaire traitant des statistiques descriptives avec quelques exemples bien développés y compris graphiquement. C'est simple mais cette étude constitue une bonne approche des probabilités et des statistiques inférentielles !!

 

[C8H10N4O2]

Merci pour cette réponse très intéressante 😀

Mon niveau de connaissance correspond peu ou prou à ce que l'on enseignait autrefois en TermS. Pour ce qui est des statistiques, j'ai toujours trouvé éclairante la distinction entre les mesures de tendance centrale (moyenne, médiane) et celles de tendance de dispersion (variance, écart inter-quartile, etc). 

Étant donné que des séries statistiques très différentes peuvent néanmoins présenter des mesures similaires (même moyenne par ex), je m'intéressais aux outils permettant de déceler derrière cette similarité les différences entre les séries. D'où ma question sur la variance et la manière de l'interpréter.

Pour donner une analogie, je sais que si une série présente une moyenne inférieure à sa médiane, cela signifie que plus de la moitié des valeurs qui composent la série sont supérieures à la moyenne, donc qu'on doit supposer qu'elle présente des valeurs "extrêmes" parmi les plus petites valeurs. On peut ensuite affiner l'analyse en déterminant déciles et quartiles.

Je cherchais donc une manière de me représenter intuitivement ce que voulait dire une variance de 30 ou de 87 par exemple. Votre réponse m'apporte à ce titre des pistes de réflexion très pertinentes.