Raisonnement par récurrence

[Dada69]

Bonjour, je bloque sur toute la question N°3. Si vous pouviez m’aider. Cordialement 

Merci d'avance pour votre aide:

3. Soit f la fonction définie sur J=[0; +∞[ 𝑓(𝑥) = 3-1/x+1.

    a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur J.

    b. On considère la suite (U𝑛)définie pour tout entier naturel n par Un+1= f(U𝑛) et Uo=5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence,          montrer que U𝑛 ≥ 0 et déterminer le sens de variation de la suite (U𝑛)

   c. Démontrer que la suite (U𝑛) converge 

   d. déterminer la limite L de cette suite .

Modifié le 8 octobre 2021 par Dada69

[pzorba75]

Déjà posté, inutile de polluer le forum en repostant le même sujet n-fois, n dans N pour les suites!

[volcano47]

tu as obtenu satisfaction ou bien, c'est toujours en cours ?

[Dada69]

C'est toujours en cours 

[julesx]

Bonsoir,

Comme c'est toujours en cours, un peu d'aide ?

3)a) f'(x)=1/(x+1)² (j'espère que je ne t'apprends rien), donc f'(>0 sur J et f(x) uniformément croissante (idem). f(0)=2, x->∞ => f(x)->∞ donc f(x)>0 ∀x.

b) U₀>0 Initialisation OK
U_n>0 => f(U_n)>0 => U_n+1>0 Hérédité OK => U_n>0 (a fortiori >=0)

U₁=2 => U₁>U Initialisation OK
U_n<U_n+1 => f(U_n)<f(U_n+1) (car f(x) croissante => U_n+2<U_n+1 Hérédité OK => suite décroissante.

c) Voir cours, suite décroissante minorée.

d( La limite vérifie L=3-1/(1+L). Je te laisse terminer.

 

[Dada69]

je vous remercie pour votre aide, 

je vais lire ça attentivement 

 

[julesx]

Bonjour,

Une alternative à 3)b).

U_n+1-U_n=3-1/(U_n+1)-U_n=(-U_n²+2U_n+2)/(U_n+1)
U_n+1>0 puisque U_n est positif
-U_n²+2U_n+2 est négatif pour U_n>1+√3 ce qu'on ne sait pas a priori, mais qu'on peut démontrer par récurrence.

Initialisation
5>1+√3
Initialisation OK
Hérédité
U_n>1+√3 => U_n+1>2+√3 => 1/(2+√3)>1/(U_n+1) => -1/(2+√3)<-1/(U_n+1) => 3-1/(2+√3)<3-1/(U_n+1) => U_n+1>3-1/(2+√3)
Je te laisse vérifier que 3-1/(2+√3)=1+√3, donc U_n+1>1+√3
Hérédité OK

On a donc bien U_n+1-U_n<0 et la suite est décroissante.

 

 

[Dada69]

Je n'ai pas réussi a faire la question d) 

 

[volcano47]

Jules X écrit : " d( La limite vérifie L=3-1/(1+L). Je te laisse terminer." 

ça signifie qu'il faut résoudre une équation dont l'inconnue est L (second degré) , ça devrait pouvoir se faire ?