variable muette

[C8H10N4O2]

Bonsoir à tous,

Comment comprenez vous le concept de variable muette dans le cadre de l'intégration ?  Je comprends que lorsqu'on nomme la borne supérieure d'intégration non plus b comme ici : 

    mais x, il existe un risque de confusion et qu'on écrive dès lors :    .

En revanche, j'ai du mal à comprendre qu'on fasse la distinction entre variable d'une primitive et variable d'intégration comme dans le passage ci-dessous :

 

Si cela vous a déjà intrigué et qu'après y avoir réfléchi, vous avez désormais une vision claire de cette distinction, je suis à l'écoute de vos explications ! 

Par avance merci  

 

 

 

Modifié le 28 mars 2021 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonsoir,

Je vais te donner mon avis personnel, donc qui n'engage que moi. D'autres intervenants te répondront sûrement, à toi de faire le tri. Désolé pour les notations, ça me prendrais trop de temps de passer par une écriture plus sophistiquée.

Moi, je fais la distinction entre

* L'intégrale définie, c'est à dire entre deux bornes constantes, comme ∫_a^b f(x)dx.

Dans ce cas, x peut être remplacée par n'importe quelle autre lettre, à condition évidemment d'utiliser la lettre de remplacement dans l'expression de f(x).

Exemple : ∫_a^b (x²+1)dx est identique à ∫_a^b (t²+1)dt sauf qu'on a ∫_a^b f(x)dx=[x³/3+x]_a^b et ∫_a^b f(t)dt=[t³/3+t]_a^b mais le résultat final est le même.

C'est dans cette optique que je raisonne en termes de variable muette, donc de variable dont le nom importe peu.

* L'intégrale indéfinie, en fait une primitive, qu'on note pour simplifier (par abus de langage ?) ∫f(x)dx.

Dans ce cas, le résultat est forcément une fonction de x (pas d'accord avec le texte correspondant que tu as posté). Il n'y a donc pas ici de variable muette. En particulier, si on part d'une fonction de t, par exemple, la primitive sera une fonction de t.

* L'intégrale fonction de sa borne supérieure, comme ∫_a^x f(t)dt.

Le résultat est une fonction de x. La variable dans le signe somme reste de type muette au sens où j'en ai parlé précédemment, mais, même si ce n'est pas formellement interdit, pour éviter tout confusion, il vaut mieux utilise un autre nom que celui de la borne supérieure.

Exemple : ∫_a^x (t²+1)dt=∫_a^x (u²+1)du=x³/3+x-a³-a donc quelle que soit la variable utilisée dans l'intégrale.

 

 

 

[C8H10N4O2]

Merci JulesX d'avoir pris le temps de rédiger cette réponse détaillée avec laquelle je suis en grande partie d'accord, en particulier sur le fait qu'il soit discutable de faire le distinguo entre variable de la primitive et variable d'intégration.

Pour une intégrale définie de bornes a et b, voici comment je raisonne : cette intégrale désigne l'aire sous la courbe de la fonction f entre les axes x = a et x = b. Si on peut exprimer cette aire sous la forme d'une fonction, c'est précisément parce qu'elle ne prendra pas la même valeur selon la position de la borne supérieure. En d'autres termes, elle est fonction d'une variable et il me semble que cette variable est celle symbolisée par l'axe des abscisses, soit la même variable que celle dont dépend la fonction étudiée.

Donc je comprends le souci de ne pas nommer la borne supérieure de la même manière que la variable en abscisse, mais pas tellement le fait de distinguer variable de la primitive et variable d'intégration.

Modifié le 28 mars 2021 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonjour,

Pour moi, une intégrale définie reste un nombre puisque les bornes sont des constantes. Il est évident que sa valeur dépend de celles des bornes, mais comme son nom l'indique, sa "définition" implique que les valeurs des bornes sont fixées une fois pour toutes. On ne peut donc pas parler de fonction ici.

Si on veut une fonction, il faut raisonner en termes d'intégrale fonction de sa borne supérieure, qui est alors une variable, souvent x, mais cela peut être t ou tout autre nom.

A noter que, dans le cas d'une intégrale définie, pour calculer sa valeur dans le cas d'une résolution algébrique, il faut évidemment trouver une primitive de la fonction sous le signe somme. Cette primitive s'évalue a priori en utilisant la variable employée sous ce signe somme, mais rien n'empêche d'en prendre une autre, on retombe sur la notion de variable muette. C'est le cas lorsqu'on fait un changement de variable, ou la nouvelle variable peut prendre n'importe quel nom (on évite bien sûr de garder le même nom que l'ancienne).

Quant à ta dernière remarque, la variable de la primitive est celle de la borne supérieure, la variable d'intégration est celle de la fonction sous le signe somme.  Pour éviter toute confusion, on distingue les deux au moment de l'écriture de la fonction, exemple F(x)=∫_a^x (t²+1)dt. Rien n'empêcherait ensuite d'utiliser une autre variable muette pour le calcul intermédiaire (cf. ci-dessus), mais pourquoi compliquer...

Mais comme dit initialement, c'est un avis personnel.

 

 

[volcano47]

jadis une définition de la fonction Ln(x) était Ln(x) =  (1 à x)  dt /t  

 ceci est bien une fonction et l'aire sous la courbe 1/t (ou 1/u ou 1/ (toto) ) est bien fonction de la borne supérieure il n'y a pas plus de mystère que si on fait une somme discrète selon un indice k (variant de 0 à n par exemple) ou p variant de 0 à n : on trouvera bien la même chose.