Exercice 1ère

[Clemmellian]

Bonjour, j'ai cet exercice à faire et à rendre. (voir pj)

Mais je ne comprends vraiment pas.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance
 

 

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Modifié le 3 mars 2021 par Clemmellian

[anylor]

bonjour

pour t'aider à commencer

tu cherches l'équation de la tangente en A

ya = -2ax +1+a²

l'abcisse de N en fonction de a

y=0

-2ax +1+ a² = 0    =>

x=  1+a² /2a    avec a ≠ 0   -> abscisse de N 

(par contre a > 0 et non ≥ 0 )

 

puis l'ordonnée de M en fonction de a

  x = 0

y = -2a*0 +1+a² = a²+1   -> ordonnée de M

 

tu cherches l'aire du triangle OMN

et tu étudies la fonction Aire

je te laisse continuer 

 

Modifié le 4 mars 2021 par anylor

[Clemmellian]

Je vais y réfléchir merci

[anylor]

  Le 04/03/2021 à 09:23, anylor a dit :

x=  1+a² /2a    avec a ≠ 0   

Expand  

il faut lire x=(1+a²)/ (2a)

[Clemmellian]

Merci

[Clemmellian]

Bonjour, comment avez vous trouvé l'equation de la tangente en A
car la formule c'est : 

y = f'(a) (x-a) + f(a)

[julesx]

Bonjour,

f(x)=1-x² => f'(x)=-2x

f(a)=1-a²

f'(a)=-2a

OK, jusque là ?

Donc

y=-2a(x-a)+1-a² qu'il suffit de développer et d'arranger.

Encore OK ?

 

[Clemmellian]

Si si, j'ai compris merci

Je comprends pas à quoi sert la tangente

[Clemmellian]

Si enft c'est bon

[julesx]

Bien, passe à la suite...

 

[Clemmellian]

D'acord, donc, l'aire d'un triangle c'est : (base*hauteur)/2

Dans ce cas, c'est (ON * OM)/2 ?

[julesx]

Oui, car le triangle est rectangle en O.

[Clemmellian]

Donc : 

[((a^2 + 1) / 2) * a^2 + 1] / 2

[julesx]

Attention à mettre correctement les parenthèses et écrire correctement ON et OM. Par ailleurs, il faut regrouper les termes a²+1.

ON=(a²+1)/(2a)

OM=(a²+1)

En appelant A l'aire

A=[(a²+1)/(2a)*(a²+1)]/2=(a²+1)²/(4a)

Modifié le 5 mars 2021 par julesx
Suppression d'un signe * malvenu

[Clemmellian]

Mais, c'est plutôt : (a²+1)²/(4a)

[anylor]

bonjour jules, clemmellian

oui

Mais, c'est plutôt : (a²+1)²/(4a)

quand tu auras calculé la dérivée A'(x)  , garde les facteurs pour pouvoir étudier le signe.

sinon pas facile de factoriser la forme développée( à moins de faire un changement d'inconnue)

Modifié le 5 mars 2021 par anylor

[Clemmellian]

Ensuite, il faut dériver A ?

OUI, je dérive

[Clemmellian]

Mais je trouve comme dérivé : (12a^4 + 8a^2 - 4) / 16a^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

[anylor]

12a^4+8a²-4 / 4²a²  oui c'est la forme développée

tu peux déjà simplifier par 4 avec le dénominateur

après il faut factoriser pour étudier le signe

4a²  pas de souci  car c'est toujours positif

 on étudie le signe de  3a⁴ +2a² -1  

il faut faire un changement d'inconnue A² = a⁴

et factoriser  avec méthode du discriminant

(c'est pour cela que je te disais de ne pas développer )

ou à la calculatrice  3a⁴ +2a² -1   = (a² +1)(3a²-1)

a²+1  toujours positif

donc il te reste à étudier  le signe de 3a²-1

Modifié le 5 mars 2021 par anylor

[julesx]

En complément de ce qui précède :

Je suppose que tu as utilisé la méthode standard (u'v-uv')/v² avec u=(a²+1)² et v=4a
u'=4a(a²+1)
v-=4a
donc
A'=[4a*(a²+1)*(4a)-(a²+1)²*(4)]/(16a²)
La première chose à faire c'est de mettre a²+1 en facteur au numérateur
A'=(a²+1)*[4a*(4a)-(a²+1)*4]/(16a²)
ensuite, voir une simplification par 4
A'=(a²+1)*[a*(4a)-(a²+1)]/(4a²)
pour obtenir finalement
A'=(a²+1)*(3a²-1)/(4a²)

A noter également que, si tu as une fonction multipliée par un coefficient constant, la dérivée est multipliée par ce même coefficient : f(x)=k*g(x) => f'(x)=k*g(x).
Donc ici, dès le départ, tu aurais pu raisonner sur (a²+1)²/a et ne rajouter que le 1/4 à la fin.

Remarque en complément également, mais tu n'es pas obligée de la regarder maintenant :
On pouvait se passer du calcul de l'équation de la tangente en raisonnant uniquement en termes de pente :
Avec Y l'ordonnée de M et X l'abscisse de N, on a
Pente du segment MA : [Y-(1-a²)]/(-a)=-2a => Y=a²+1
Pente du segment AN : (1-a²)/(a-X)=-2a => X=(a²+1)/(2a)

[Clemmellian]

Merci, demain j'essaye de la faire

[Clemmellian]

Je trouve a= racine de 3 / 3.

[julesx]

C'est ça, mais n'oublie pas de dire qu'il y a deux valeurs qui annulent la dérivée mais que seul √(3)/3 appartient à l'intervalle ]0;1].

[Clemmellian]

Oui, c'est ce que j'ai 

Après je fais un tableau de signe et de variation de f 

[julesx]

Oui, ça justifie "visuellement" que l'aire passe par un minimum. Mais limite l'intervalle à ]0;1]