Exercice produit scalaire

[Clemmellian]

Bonjour à tous,

J'ai cet exercice à faire mais je n'arrive pas à faire la 2ième question (voir pièce jointe) : 

Pour la première j'ai reussi à démontrer que le vec(BQ) = vec(CP) 

Mais après e n'y arrive pas.

Merci d'avance

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[julesx]

Bonjour,

  Le 28/12/2020 à 11:07, Clemmellian a dit :

Pour la première j'ai reussi à démontrer que le vec(BQ) = vec(CP) 

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Faux, ces vecteurs ne sont pas colinéaires, ils ne peuvent donc pas être égaux.

1) Il faut décomposer, comme suggéré

vec(BQ)=vec(BC)+vec(CQ)

vec(CP)=vec(CD)+vec(DP)

puis développer le produit

vec(BQ)*vec(CP)=[vec(BC)+vec(CQ)]*[vec(CD)+vec(DP)]

Le résultat se simplifie car certains vecteurs sont perpendiculaires et les autres colinéaires. Il reste donc finalement le résultat de l'énoncé.

2) Commence par montrer que PMQD est un rectangle et que QMC est un triangle rectangle isocèle.

[Clemmellian]

Mais comment démonter Qu il s agit d un rectangle ?

Avec les projetés orthogonaux ?

[julesx]

Très simplement : c'est un quadrilatère dont 3 angles sur 4 sont droits par construction, donc le quatrième l'est forcément

CPA parce que ABCD est un carré

 DPM parce que P est la projection de M sur DA

DQM parce que Q est la projection de M sur DC

[Clemmellian]

Merci

[Clemmellian]

Maintenant pour demontrer que QCM est un triangle isocele rectangle , il faut qu on explique que ABCD est un carre donc il y a 4 angles droits. Mais comment justifier que le triangle est isocele ?

[julesx]

Toujours parce que Q est la projection de M sur DC, QCM est un triangle rectangle en Q. Par ailleurs, comme CA est une diagonale du carré ABCD, l'angle QCM est la moitié d'un angle droit, donc vaut 45°. Il s'ensuit que l'angle QMC vaut également 45°, ce qui entraîne que la triangle QCM est rectangle isocèle.

[Clemmellian]

Ah oui d accord

,Mais en quoi cela nous aide pour repondre a la question ?

Ah si je viens de comprendre

[Clemmellian]

Nous venons de voir que DP=QM et que QM =CQ par consequent, DP = CQ

Comment conclure ?

[julesx]

Il faut reprendre le résultat de la question 1), le compléter avec celui de la question 2) et voir si on répond à la proposition de départ :

Démontrer que les droites (BQ) et (CP) sont perpendiculaires.

[Clemmellian]

Donc : 
Question 1 : on a démontrer que  

Question 2 : on a démontrer que  

La problème c'est que je ne vois pas

[julesx]

vec(BQ).vec(CP)=-BC*DP+CQ*CD

DP=CD => on peut remplacer par exemple DP par CQ dans la relation précédente

vec(BQ).vec(CP)=-BC*CQ+CQ*CD=CQ*(CD-BC)

Or CD et BC sont des longueurs de côté du carré ABCD, on a donc CD=BC, d'où CD-BC=0

Il s'ensuit que vec(BQ).vec(CP)=0, donc que les vecteurs sont perpendiculaires, ce qui entraîne que les droites (BQ) et (CD) le sont.

 

N.B. : Tu as terminé l'autre exercice, celui posté le 21 décembre ?

[Clemmellian]

Merci 

Non pas encore

[julesx]

  Le 29/12/2020 à 17:08, Clemmellian a dit :

Non pas encore

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OK, mais si tu le reprends, retourne sur le fil correspondant.