Exercice produit scalaire

[Clemmellian]

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire. (voir en pièce jointe)

1.Pour la question 1 je trouve:

B(0,0)   A(0,1)  D(1,1)   I(0,5; 0)

Mais je n'arrive pas à justifier pour le I.

2.

Il faut faire avec la méthode des coordonnées ?

Donc le vecteur AI (0,5   -1)

Et le vecteur DB ( -1  -1)

0,5*(-1) + (-1) * (-1)

=  0,5

Mais je pense que c'est faux.

merci d'avance

                                 

                 

 

[julesx]

Tu as oublié de mettre la pièce jointe !

[Clemmellian]

Zut je vais la mettre tout de suite 

dm ....odtAller chercher des informations…

[anylor]

ok pour ton résultat

  Le 21/12/2020 à 12:27, Clemmellian a dit :

Mais je pense que c'est faux.

Expand  

pourquoi ?

tu appliques la formule du cours : xx'+ yy'

Modifié le 21 décembre 2020 par anylor

[Clemmellian]

Oui mais je pensais que je ça devait être egal à 0

[anylor]

le produit scalaire = 0 quand les vecteurs sont orthogonaux 

ce qui n'est pas le cas des vecteurs AI et DB

calcule le produit scalaire des vecteurs AB et BC , dans ce cas tu trouveras 0 .

[Clemmellian]

Ah oui , merci bcp

Et pour la 1ère question, je ne sais pas comment justifier que les coordonnées de I sont :  (0,5; 0)

[anylor]

sers toi de la formule des coordonnées du milieu d'un segment.

[Clemmellian]

Ah oui merci,  et pour D(1,1) ?

[julesx]

Dans le repère proposé, l'abscisse de D est celle de C et son ordonnée est celle de A.

Tu peux aussi utiliser la relation vectorielle vec(BD)=vec(BC)+vec(BA) avec vec(BC)=(1;0) et vec(BA)=(0;1). 

[Clemmellian]

Merci bcp !

 

Voici la prochaine question:

[julesx]

Utilise une des autres expressions du produit scalaire, vec(AI)*vec(DB)=AI*DB*cos(θ), en commençant par calculer les longueurs des segments [AI] et [DB].

[Clemmellian]

Pour la question 2 j'écris juste :

vec(AI) . vec(DB) = 0,5 ?

 

Pour calculer la longueur AI, je trouve racine de 1,25

Et DB : racine de 2

[julesx]

Oui, mais moi, j'aurais plutôt gardé les expressions sous la forme :

vec(AI) . vec(DB)=1/2

AI=√(5)/2 car 1+1/4=5/4 dont la racine vaut √(5)/2

DB=√(2)

Partant de là, après simplification par 1/2, tu obtiens √(10)*cos(θ)=1.

[Clemmellian]

Ah mince moi je trouvais sans simplifier environ 77degré donc il faut que je simplifie car ce n est pas le bon résultat.

[julesx]

Si, environ 77°, en fait plutôt 72°, est la valeur approchée de l'angle que l'on obtient à partir de cos(θ)=1/√(10).

Cela dit, a priori, on te demande d'exprimer le produit scolaire en fonction de cos(θ). Donc, au départ, je pense que la réponse attendue est simplement

vec(AI). vec(DB)=√(10)/2*cos(θ)

Ce n'est qu'après, si on veut une valeur approchée de θ, qu'on exploite le fait que vec(AI)*vec(DB)=1/2, ce qui consuit à cos(θ)=1/ √(10).

[Clemmellian]

Mercii !

[julesx]

De rien, bonne continuation.

[Clemmellian]

Bonjour, il y a encore une autre question :

5- La réponse trouvée dépend t elle de la mesure du côté du carré ABCD ?

[julesx]

Non, on peut le montrer ainsi :

En appelant a la mesure du côté, les coordonnées de C, D et A sont multipliées par a, donc les vecteurs vec(AI) et vec(DB) sont multipliés par a.

Il s'ensuit que :

* le produit scalaire vec(AI).vec(DB) vaut maintenant 1/2*a²

* le produit AI*DB*cos(θ) vaut maintenant 1/2*√(10)*cos(θ)*a².

Comme les deux sont égaux, a² se simplifie et on retrouve la même valeur pour cos(θ).

 

[Clemmellian]

Merci

[Clemmellian]

Donc une equation cartésienne c'est : ax + by + c = 0

[julesx]

Oui, mais ça, c'est la définition générale. Ce qu'on te demande ici, c'est de déterminer la valeur des coefficients a, b et c. Revois ton cours à ce propos.

[Clemmellian]

D'accord

Mais il s'agit d'un vecteur directeur  ou d'un vecteur normal ?

[julesx]

A priori, comme la droite cherchée est le support du vecteur vec(AI), tu utilises ce vecteur comme vecteur directeur. C'est si la droite était perpendiculaire à un certain vecteur que tu utiliserais ce dernier comme vecteur normal.

Donc, tu connais déjà les valeurs de a et de b, il te reste à trouver c en utilisant le fait que la droite passe par A ou par I.