Étude de fonction et suite

[C8H10N4O2]

 

Bonjour à tous, j'aurais besoin de vos lumières pour quelques questions de cet exercice.

Partie A.

1/

Je trouve : a) 

b) démonstration simple en multipliant "en haut et en bas" par la quantité conjuguée de      .

c) On en déduit : 

2/ Pas de problème particulier en a) et b), f est croissante sur 

En revanche, en c), je ne sais pas si j'emploie la bonne méthode : De     , f croissante et  , on déduit : f(1/2) > 1/2 . Et comme f(1) > f(1/2), on a aussi f(1) > 1/2 .

Par ailleurs,   , dont on peut montrer qu'il est inférieur à 1 . Donc f(1) < 1 et toujours en vertu de la croissance de f, f(1/2) < f(1) donc f(1/2) < 1 .

On a alors bien : 

 

Partie B. 

1/   et d'après ce qui précède , si  , alors :  . Héréditaire et vraie au rang 1, la propriété   est vraie pour tout n dans N.

2/ Là je bloque !!

3/ Je dirais qu'en tant que suite décroissante et minorée par 1/2, (Un) converge vers son plus grand minorant qui est supérieur ou égal à 1/2 ... Pour ce qui est d'être une solution de f(x) = x, doit-on invoquer le théorème du point fixe ?

 

Partie C.

1/ Sans problème par le calcul de la dérivée.

2/ Pas de soucis pour montrer l'équivalence en faisant f(x) = x, mais je ne sais pas comment procéder pour déduire l'unicité de la solution a. 

3/ Je ne sais pas comment procéder pour obtenir l'encadrement demandé.

 

Merci d'avance pour votre aide !  

 

Modifié le 11 décembre 2020 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonsoir,

A)2)c) Pour moi :  f(0)=1/2 f(1)=1 et f(x) strictement croissant sur [0;1] => f([1/2;1]) inclus dans [1/2;1]

B)2) u_n<u_n-1 => comme f(x) est croissante f(u_n)<f(u_n-1) soit u_n+1<u_n.

B)3) Effectivement, une suite décroissante et minorée converge. La limite l vérifie l=f(l), en terminale, c'est un résultat admis.

C)2) g(x) croissante de -1 à +infini => Cf. TVI, que g(x)=0 admet une seule solution sur [0;+infini[

3) Pour l'encadrement, utilise un tableur en commençant par un encadrement grossier et en réduisant progressivement l'intervalle. Tu peux aussi utiliser le solver d'un logiciel ou de la calculette.

 

[volcano47]

pour signaler au modérateur fantôme de ce site que Profinou (pas pro finaud) commence à nous les briser menu...

[Denis CAMUS]

J'ai encore dégagé son message.

Faut écrire à zola2.