Type d’inéquation

[Laura Dubois]

Bonjour, je ne trouve les solutions des équations suivantes car j’évite ne comprend pas quel est la méthode:

1. Sqrt(5x^2-3x-5)>5-x

2. sqrt(x+10)-sqrt(x+5)>sqrt(x+2)

3. (-2x+3)(7x-3)(-5x+8)|x-5|>0 j’ai un problème avec la valeur absolue ici

 

 

merci

 

[Black Jack]

Bonjour,

1)

Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x

Il faut que 5x^2-3x-5 0 pour que Sqrt(5x^2-3x-5) existe.

5x^2-3x-5 0

5x^2-3x-5 = 0
x = (3 +/- V(109))/10

5x^2-3x-5 = 5*(x - (3 - V(109))/10). (x - (3 + V(109))/10)

5x^2-3x-5 0
5*(x - (3 - V(109))/10). (x - (3 + V(109))/10) 0

--> x compris dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; +oo[  (1)

Il faut aussi 5 - x > 0, soit x < 5 (pour que Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x soit possible)  (2)

Et donc (1) et (2) doivent être tous les 2 respectés --> Il faut que x soit dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; 5[  (3)

Sous ces contraintes, les 2 membres de l'inéquation existent et sont positives. :  (on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.)

Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x
(5x^2-3x-5) > (5-x)²
(5x^2-3x-5) > 25 + x² - 10x
4x² + 7x - 30 > 0
4(x-2).(x + 3,75) > 0 --> x dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; +oo[

Mais il faut respecter les contraintes (3) ---> c'est le cas avec les solutions ci-dessus.

--> x compris dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; +oo[
***************
2)
sqrt(x+10)-sqrt(x+5)>sqrt(x+2)

Pour que les racines carrées existent, il faut x > -2  (1)
Ceci entraîne aussi que les 2 membres de l'inéquation sont 0, on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.

(sqrt(x+10)-sqrt(x+5))²>(sqrt(x+2))²
x+10+x+5 - 2.sqrt((x+10)(x+5)) > x+2
x + 13 > 20sqrt((x+10)(x+5)) ... les 2 membres de l'inéquation sont 0, on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.

(x+13)² > 4((x+10)(x+5))
x² + 26x + 169 > 4(x²+15x+50)
3x² + 34x + 31 < 0
(x+1).(3x+31) < 0

--> x dans ]-31/3 ; -1[

MAIS il faut respecter les contraintes (1) --->

Solutions : x compris dans ]-2 ; -1[
****************
3)

(-2x+3)(7x-3)(-5x+8)|x-5|>0

On traite le problème en 2 fois :

On étudie (-2x+3)(7x-3)(-5x+8).(x-5) > 0 pour x 5

et on étudie (-2x+3)(7x-3)(-5x+8).(5-x) > 0 pour x < 5

Essaie ...

 

Rien relu.

 

[Laura Dubois]

  Le 17/09/2020 à 18:19, Black Jack a dit :

Bonjour,

1)

Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x

Il faut que 5x^2-3x-5 0 pour que Sqrt(5x^2-3x-5) existe.

5x^2-3x-5 0

5x^2-3x-5 = 0
x = (3 +/- V(109))/10

5x^2-3x-5 = 5*(x - (3 - V(109))/10). (x - (3 + V(109))/10)

5x^2-3x-5 0
5*(x - (3 - V(109))/10). (x - (3 + V(109))/10) 0

--> x compris dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; +oo[  (1)

Il faut aussi 5 - x > 0, soit x < 5 (pour que Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x soit possible)  (2)

Et donc (1) et (2) doivent être tous les 2 respectés --> Il faut que x soit dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; 5[  (3)

Sous ces contraintes, les 2 membres de l'inéquation existent et sont positives. :  (on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.)

Sqrt(5x^2-3x-5) > 5-x
(5x^2-3x-5) > (5-x)²
(5x^2-3x-5) > 25 + x² - 10x
4x² + 7x - 30 > 0
4(x-2).(x + 3,75) > 0 --> x dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; +oo[

Mais il faut respecter les contraintes (3) ---> c'est le cas avec les solutions ci-dessus.

--> x compris dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; +oo[
***************
2)
sqrt(x+10)-sqrt(x+5)>sqrt(x+2)

Pour que les racines carrées existent, il faut x > -2  (1)
Ceci entraîne aussi que les 2 membres de l'inéquation sont 0, on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.

(sqrt(x+10)-sqrt(x+5))²>(sqrt(x+2))²
x+10+x+5 - 2.sqrt((x+10)(x+5)) > x+2
x + 13 > 20sqrt((x+10)(x+5)) ... les 2 membres de l'inéquation sont 0, on peut donc élever au carré sans changer les sens de linéquation.

(x+13)² > 4((x+10)(x+5))
x² + 26x + 169 > 4(x²+15x+50)
3x² + 34x + 31 < 0
(x+1).(3x+31) < 0

--> x dans ]-31/3 ; -1[

MAIS il faut respecter les contraintes (1) --->

Solutions : x compris dans ]-2 ; -1[
****************
3)

(-2x+3)(7x-3)(-5x+8)|x-5|>0

On traite le problème en 2 fois :

On étudie (-2x+3)(7x-3)(-5x+8).(x-5) > 0 pour x 5

et on étudie (-2x+3)(7x-3)(-5x+8).(5-x) > 0 pour x < 5

Essaie ...

 

Rien relu.

 

Expand  

Merci

C’est quoi le V qui apparaît ?

[julesx]

V=racine carrée (on utilise aussi souvent sqrt -> square root).

[PAVE]

  Le 18/09/2020 à 10:31, Laura Dubois a dit :

Merci

C’est quoi le V qui apparaît 

Expand  

?

sqrt(x+10) = (x+10) = V(x+10)

Le V de la victoire ?.

[Laura Dubois]

  Le 17/09/2020 à 18:19, Black Jack a dit :

donc (1) et (2) doivent être tous les 2 respectés --> Il faut que x soit dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; 5[

Expand  

Comment avez vous déterminez cette intervalle en incluant 5?

[Laura Dubois]

  Le 18/09/2020 à 10:58, julesx a dit :

V=racine carrée (on utilise aussi souvent sqrt -> square root).

Expand  

Ah d’accord et dans ce genre d’equation nous ne sommes pas autorisé a utilisé la calculatrice donc je me demander comment on peut estimer la valeur d’une racine carré comme racine carre de 109?

[Black Jack]

Ma réponse n'est pas des plus claires.

Pour que sqrt(5x²-3x-5) existe, il faut que (5x²-3x-5) 0

... ce qui revient à x dans ]-oo ; (3 - V(109))/10)] U [(3 + V(109))/10) ; +oo[ (1)

Si on a x > 5, alors le membre de gauche est < 0 et l'inéquation est respectée pour autant que (1) le soit aussi.
Donc x dans ]5 ; +oo[ est parmi les solutions.

Si on veut pouvoir élever au carré, sans modifier le sens de l'inéquation ... il faut que les 2 membres soit 0 et donc aussi que x 5

On étudie alors le cas x 5 ... qui amène comme solutions x dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; 5] 

Les solutions sont donc l'union des ensembles en gras ci-dessus : ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; 5]  U ]5 ; +oo[ ,soit donc :

x dans ]-oo ; -3,75[ U ]2 ; +oo[

En espérant que c'est un peu plus clair.

 

 

 

[julesx]

 

  Le 19/09/2020 à 09:34, Laura Dubois a dit :

Ah d’accord et dans ce genre d’equation nous ne sommes pas autorisé a utilisé la calculatrice donc je me demander comment on peut estimer la valeur d’une racine carré comme racine carre de 109?

Expand  

A priori, si on ne te demande pas une valeur approchée ou si tu n'en as pas besoin pour un tracé, par exemple, tu gardes le résultat sous la forme de la racine carrée.

Sinon, sans calculette, il existe une méthode de calcul "à la main" (voir sur la toile). Sinon, pour une valeur très approchée, 109≈100, dont la racine carrée est 10. Comme 11²=121, 10,5 doit être une valeur approchée pas trop fausse.

[Laura Dubois]

Merci beaucoup mais je n’es comprends  que votre raisonnement pour l’inequation 2 pour éliminer les racines carrée svp

[Black Jack]

  Le 18/09/2020 à 10:58, julesx a dit :

V=racine carrée (on utilise aussi souvent sqrt -> square root).

Expand  

Bonjour,

 

Précise ce que tu n'as pas compris.

Passage de quelle ligne à la suivante ...

**************

Juste une correction,

La ligne de ma réponse : x + 13 > 20sqrt((x+10)(x+5)) ...

est à remplacer par : x + 13 > 2.sqrt((x+10)(x+5)) ...

 

 

 

[Laura Dubois]

Je N’est pas compris la ligne que vous avez remplacer dans le sens où une fois qu’on en arrive là comment on on resoud l´equation svp?

[Black Jack]

x + 13 > 2.sqrt((x+10)(x+5))...  pour x > -2

Avec x > - 2 (condition d'existence des racine carrée) ...
Les 2 membres de l'inéquation sont positifs et donc on peut élever au carré sans modifier le sens de l'inaquation, on obtient alors :

(x + 13)² > (2.sqrt((x+10)(x+5)))² ... toujours pour x > -2

x² + 13² + 26x > 4.(x+10)(x+5)

x² + 169 + 26x > 4.(x²+15x+50)

x² + 169 + 26x > 4x²+60x+200
0 > 4x²+60x+200 - x² - 169 - 26x
0 > 3x² + 34x + 31
3x² + 34x + 31 < 0

et on peut (facilement) montrer que 3x² + 34x + 31 = (x+1).(3x+31) -->

(x+1).(3x+31) < 0 (avec toujours la contrainte que x > -2)

... et ceci amène finalement :  x compris dans ]-2 ; -1[

Qu'est ce qui te bloque là dedans ?

 

 

 

[Laura Dubois]

D’ou sort le x+13

[PAVE]

Bonsoir Black Jack (et pour Laura)

1) Je crois que Laura ne maitrise pas la notion de racine carrée (d'une expression en x) : voir https://www.e-bahut.com/topic/56108-équationsinéquations-avec-racine-carrée/

Vu(x) est défini si u(x) est POSITIF

2) Je crains par ailleurs qu'elle ne comprenne pas le passage de 0<A<B à A²<B² (je ne l'ai pas encore fait mais il faudrait lui justifier la méthode  : la fonction "carrée" est croissante sur R+ donc si A et B sont POSITIFS et tels que A<B  alors A²<B²...)

Laura a du mérite ?️‍♂️ car elle ne renonce pas...

 

 

[Black Jack]

  Le 20/09/2020 à 18:46, Laura Dubois a dit :

D’ou sort le x+13

Expand  

Bonjour,

 

(sqrt(x+10)-sqrt(x+5))² > (sqrt(x+2))²

Pour x -2, les racines existent.

Se rappeler que (a-b)² = a² + b² - 2ab

On a alors avec a = sqrt(x+10) et b = sqrt(x+5) :

(sqrt(x+10)-sqrt(x+5))² = ((sqrt(x+10))² + (sqrt(x+5))² - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5)
(sqrt(x+10)-sqrt(x+5))² = x + 10 + x + 5 - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5)

Et on a (sqrt(x+2))² = x + 2.

L'inéquation devient donc :

x + 10 + x + 5 - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5) > x + 2

x + 10 + x + 5 - x - 2 - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5) > 0

x + x - x + 10 + 5 - 2 - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5) > 0

x + 13 - 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5) > 0

x + 13 > 2.sqrt(x+10).sqrt(x+5)    (pour x 2)

 

 

[Laura Dubois]

Merci beaucoup à vous tous je pense que je suis un cas désespérée.

merci quand même 

[PAVE]

"Merci beaucoup à vous tous je pense que je suis un cas désespéré(e)."

Bien sûr que non ? Laura. Ces histoires d'équations et d'inéquations irrationnelles ne sont pas forcément évidentes ! Demande à tes copains copines, ce qu'ils en pensent 

As tu compris que la démonstration de Black Jack que tu cites ci dessus, a une SUITE que tu trouveras dans son message d'hier à 12h 42.

  Le 20/09/2020 à 10:42, Black Jack a dit :

x + 13 > 2.sqrt((x+10)(x+5))...  pour x > -2

car Va*Vb = V(ab)

Avec x > - 2 (condition d'existence des racines carrées) ...

cette contrainte x>-2 , on la "traine" depuis le départ

Les 2 membres de l'inéquation sont positifs et donc on peut élever au carré sans modifier le sens de l'inéquation, on obtient alors :

On applique une nouvelle fois la propriété 0<A<B => A²<B² pour "se débarrasser" des racines carrées.

(x + 13)² > (2.sqrt((x+10)(x+5)))² ... toujours pour x > -2

x² + 13² + 26x > 4.(x+10)(x+5) les  racines carrées ont "disparues"

x² + 169 + 26x > 4.(x²+15x+50)

x² + 169 + 26x > 4x²+60x+200
0 > 4x²+60x+200 - x² - 169 - 26x
0 > 3x² + 34x + 31
3x² + 34x + 31 < 0 

Ouf !! sous contrainte que x soit un nombre >-2, l'équation initiale a le même ensemble de solutions que cette inéquation polynomiale du second degré.

Voir cours de Première, pour résoudre cette inéquation polynomiale du second degré, il suffit de se souvenir du théorème qui donne le signe d'un trinôme du second degré ! Tu connais ?

On cherche en calculant le discriminant b²-4ac, si 3x²+34x+31 admet des racines (NB Raccourci : la racine -1 est ... "évidente" !!!! donc l'autre vaut -c/a =-31/3).

et on peut (facilement) montrer que 3x² + 34x + 31 = (x+1).(3x+31) -->

(x+1).(3x+31) < 0 (avec toujours la contrainte que x > -2)

le trinôme est négatif pour les valeurs de x comprises entre les racines -31/3 et -1 (tu appliques le théorème ou tu refais un tableau de signes)

Si on récapitule les "contraintes" :

x est solution de l'équation initiale si : x>-2 et -31/3<x<-1 soit graphiquement

 

... et ceci amène finalement :  x compris dans ]-2 ; -1[

Expand  

Mes excuses à Black Jack pour mes annotations complémentaires pour Laura ?

[Black Jack]

  Le 21/09/2020 à 16:03, PAVE a dit :

"Merci beaucoup à vous tous je pense que je suis un cas désespéré(e)."

Bien sûr que non ? Laura. Ces histoires d'équations et d'inéquations irrationnelles ne sont pas forcément évidentes ! Demande à tes copains copines, ce qu'ils en pensent 

As tu compris que la démonstration de Black Jack que tu cites ci dessus, a une SUITE que tu trouveras dans son message d'hier à 12h 42.

Mes excuses à Black Jack pour mes annotations complémentaires pour Laura ?

Expand  

Bonjour,

 

Pas de soucis.

?