Chiffrage affine

[Laura Dubois]

Bonjour, voici l’énoncé

on assimile les 26 lettres de l’alphabet aux nombre 0,....,25

 On code alors un nombre X ainsi:

le nombre codé f(x) et le reste de la division euclidienne de 3x+20 par 26 donc f(x) est congrue à 3x+20 modulo 26 

1- Déterminer la fonction g de déchiffrage de {0,1...,25} dans lui-même, telle que:

f(x) est congrue a y modulo 26 équivaut à g(y) congrue à x modulo 26. g(y) doit être de la forme ay+b avec 0<b<25

[Denis CAMUS]

Bonsoir,

Sens codage : x===> f(x) ≡ 3x+20 mod(26)

y ≡ 3x + 20

Pour retrouver x, on serait tenté de faire x = (y-20)/3 comme en arithmétique habituelle. Or cela donnerait des nombres fractionnaires, et en arithmétique modulaire on n'utilise que des entiers puisque c'est le reste d'une division.

Comme on ne peut pas diviser par a, on peut en revanche multiplier par son inverse. Diviser par un nombre est la même chose que multiplier par son inverse

Ayant a, il faut trouver un nombre a' tel que a * a' =1 mod(26) . Ce  1 mod(26) peut être 27, 53, 79, ... Mais on choisit celui <25. Si on a a=3, pour obtenir 27 (ou 1 mod26) il faut le multiplier par 9. Ainsi l'inverse de a=3 est a' = 9.

Si je reprends l'expression x = (y-20)/3 elle devient :

x ≡ 9 ( y - 20) mod(26)

x ≡ 9y - 24. (Car 9 * 20 = 180 et 180 = 6 * 26 + 24)

En reprenant la notation de l'énoncé :

g(y) ≡ 9y - 24 mod(26), y étant la lettre chiffrée.