Loi normale

[Laura Dubois]

 Une machine produit des pièces dont la longueur est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance 83 mm et d’écart type 0,8 mm. Une pièce est acceptable si la longueur est comprise entre 81,88 mm et 84,12 mm on souhaite régler l’écart type de cette machine l’espérance restant inchangé pour que 99 % des pièces soient accepté.

Déterminer la valeur de l’écart type 

je ne sais pas comment faire je juste commencer par faire P(esperance-3ecart-type<X<esperance+3ecart-type)=0.997

pouvez vous m’aider?

[Barbidoux]

on pose Z=(X-m)/sigma  P(Z)≥0.995 ==>Z== LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,995)=2.5758 ==> Z=(84.12-83)/sigma=2.5758 ==> sigma=0.4348.

Verification ; =LOI.NORMALE(84,12;83;0.4348;1)-LOI.NORMALE(81,88;83;0.4348;1)=0.99

[PAVE]

Bonsoir (c'est plus sympa !! on n'est pas des robots ?)

N'y a-t-il pas dans l'exercice des questions en préalable à cette question ?

Moi, j'ai envie de te poser une première question toute simple :

Si la  variable aléatoire X  suit une loi normale d’espérance 83 mm et d’écart type 0,8 mm, quelle est la probabilité que X soit comprise entre  81,88 mm et 84,12 mm ? donc avec cet écart-type de 0,8 quelle est la probabilité que les pièces soient acceptées ?

J'ai fait ce calcul et j'ai trouvée une probabilité nettement inférieure au 0,99 souhaité ! Pour obtenir ce 0,99, à ton avis (humble comme il se doit ?) , faut-il augmenter ou diminuer l'écart-type ?

Je viens de voir que Barbidoux t'a donné la solution sous une forme très synthétique. Si tu comprends ce qu'il a écrit, inutile de répondre à mes questions mais si cela te parait encore un peu compliqué, intéresse toi à ma démarche et à mes questions.... si tu veux.

A toi de dire.

 

[Laura Dubois]

Bonjour, Pave la question que tu viens de m’en poser était déjà danse l’exercice et j’ai réussi à la faire mais d’où sort le 2,57 et 0,995 svp? Je comprend pas

[Laura Dubois]

J’ai besoin de comprendre et si on reprend l’enonce Mais qu’on le fait avec 95 pourcentage au lieu de 99???

[PAVE]

il y a 46 minutes, Laura Dubois a dit :

Bonjour, Pave la question que tu viens de m’en poser était déjà danse l’exercice et j’ai réussi à la faire mais d’où sort le 2,57 et 0,995 svp? Je comprend pas

Et tu as trouvé combien ?

Et il va falloir augmenter ou diminuer l'écart-type ?

Si on développe le calcul (avec la calculatrice on ne voit pas et on ne comprend pas vraiment ?).

Es tu habituée au changement de variable pour passer à la variable centrée réduite ? Après le réglage de la machine pour avoir le nouvel écart-type, la variable X' suit la loi normale N(83 ;sigma inconnu). On sait que la variable U = [(X-83)/sigma] suit la loi normale centrée réduite de paramètres 0 et 1 (c'est du cours, en principe).

P(81,88<X'<84,12) = P((81,88-83)/sigma <U< (84,12-83)/sigma) = P (-1,12/sigma <U< +1,12/sigma) = Phi(1,12/sigma) - Phi (- 1,12/sigma) = 2 Phi (1,12/sigma) - 1 avec Phi fonction de répartition de U

Donc on cherche sigma tel que :

 2 Phi (1,12/sigma) - 1 = 0,99

 2 Phi (1,12/sigma)  = 1,99

Phi (1,12/sigma)  = 1,99/2 = 0,9950

or la table inverse  de la fonction Phi (table papier ou calculatrice... dit que 0,9950 = Phi ( 2,5758) (je fais confiance à la calculatrice de Barbidoux !!

Phi (1,12/sigma)  = Phi ( 2,5758) or Phi fonction bijective Phi(a) = Phi (b) <=> a = b

1,12/sigma  =  2,5758 d'où on tire sigma =... voir Barbidoux qui te donne même la vérification à la calculatrice (as tu vu qu'il avait complété sa réponse ?).

Comprends tu ce qui précède

 

[Laura Dubois]

J’avais trouvé 83,5 pour-cent (fallait l’exprimer en pourcentage) MAIS nous n’avons pas étudier cette méthode avec phi. J’ai du mal à comprendre la démarche 

je suis désolé 

[PAVE]

 

 

Il y a 10 heures, Laura Dubois a dit :

J’avais trouvé 83,5 pour-cent

Peux tu nous dire comment tu as obtenu ce résultat... erroné (ou mal recopiée), je le crains . J'ai trouvé 0,8385 soit en % : 83,85%

 

Il y a 10 heures, Laura Dubois a dit :

nous n’avons pas étudier cette méthode avec phi

Sous la forme que j'ai utilisée, cela se peut bien mais tu as dû en entendre parler sous une autre forme.

Barbidoux utilise les fonctions : LOI.NORMALE(84,12;83;0.4348;1) et LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,995) qui sont l'équivalent... moderne des fonctions que j'ai utilisées jadis (bonjour Barbidoux).

Sous le tableur Excel on dispose de 4 fonctions pour traiter des distributions Normales : la fonction LOI.NORMALE.STANDARD.N( Z ; 1) correspond à "ma" fonction Phi(U)...

Qu'en est-il sur ta calculatrice ? Quel modèle et donc quelles fonctions disponibles ? Je vais aller voir sur le simulateur de TI83.

Une belle occasion pour moi d'actualiser et de moderniser mes connaissances et compétences .

En conclusion si tu veux que nous puissions t'aider efficacement, il faut que tu nous dises ce que tu as vu et pratiqué (exemples) en cours. Vérifie ta première réponse (83,5%) et explique nous à cette occasion, ta méthode de calcul (recours à la calculatrice ?).

 

 

 

 

[Laura Dubois]

Bonjour, en effet j’ai mal recopier mon résultat. Pour la calculatrice j’ai une Ti82: j’ai fait: normalfrep(-1,4;1,4;0;1)=0,838465777

voila mais la suite j’arrive pas 

[Barbidoux]

Si une variable X suit une loi Normale de paramètres sigma et µ notée N(µ, sigma^2) alors la variable aléatoire réduite Z=(X-µ)/sigma suit une loi normale N{0,1} .

Dans cet exercice X suit une loi  Normale de paramètres N(83,8)

 

ce qui revient à dire que Z=(X-83)/sigma suit une loi Normale normale N{0,1}.

 

On recherche une loi normale de X de paramètres  N(83,sigma^2) telle que P(81.88<X<84,12)=0.99 soit une loi normale de paramètres N{0,1} telle que P((81.88-83)/sigma ≤ Z ≤ (84.12-83)/sigma)= P(-1.12/sigma ≤ Z ≤ 1.12/sigma)=0.99. La symétrie de la loi normale implique que :

 

La tabulation de la loi normale (ou l’utilisation d’une calculatrice ou la fonction LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,995) d'un tableur comme OpenOffice) donne u_a=2.5758 on ne déduit donc que 1.12/sigma=2.5758 ==> sigma=0.4348 et donc que la loi normale de X de paramètres  N(83, 0.4348^2) répond au problème posé.
 
 Vérification : =LOI.NORMALE(84,12;83;0.4348;1)-LOI.NORMALE(81,88;83;0.4348;1)=0.99

 

[PAVE]

La fonction de ta calculatrice : normalfrep sous entend fonction de répartition (frep) de la loi normale...

Restons sur la première question. Pourrais tu essayer de faire normalfrep avec les valeurs 81,88 puis 84,12 puis 83 puis 0,8. Qu'obtiens tu ?

(La TI 83 me donne directement la réponse sans avoir à passer par la variable centrée réduite et les valeurs -1,4 et +1,4)

Regarde attentivement les belles représentations graphiques et les explications de Barbidoux contenues dans son dernier message.

[Laura Dubois]

Merci beaucoup je vais travailler tout cela

Je viens de l’as faire Pave j’obtiens en effet la même réponse sans avoir recourt à la loi normale centrée réduite 

[Laura Dubois]

J’au une dernière question quand Barbidoux dit que l’avis symétrie implique 

je ne comprend pas la valeur de 0,995

[Laura Dubois]

Non c’est bon j’ai compris merci à vous !