Derivabilite

[lauriee]

Bonjour, 

Dans un exercice il m’est demandé d’étudier la derivabilite, qu’estce que cela signifie? J’ai pensé faire la limite du taux d'accroissement mais je ne dois pas étudier la dérivabilite en un point a mais en général 

merci pour votre aide

[anylor]

bonjour

oui, il faut que tu établisses que  le taux d'accroissement existe sur le domaine de définition

[f(xo +h) - f(xo)  ] / h

, mais dans le cas  particulier où quand h tend vers 0

( c'est à dire graphiquement quand les 2 nombres xo et (xo+h) sont confondus)

tu trouveras de nombreuses démonstrations sur le net 

[Barbidoux]

Lorsque l’on étudie la dérivabilité d’une fonction, la première étape consiste à  rechercher les intervalles ouverts aussi grands que possible sur lesquels la fonction donnée est obtenue comme somme, produit, quotient, composée de fonctions dont on sait déjà qu’elles sont dérivables (les sommes, les produit et les quotients  de fonctions dérivables sont dérivables). On examine ensuite les points qui sont aux extrémités des intervalles précédents. Pour ces points, on revient à la définition du nombre dérivée d’une fonction.

Attention, une fonction peut, posséder un nombre dérivée en un point, sans pour autant être dérivable en ce point.  Pour qu’elle le soit il faut que les nombres dérivées à gauche et à droite de la fonction soient égaux.

[lauriee]

Par exemple pour x^2 qui est définie sur R je dois calculer la limite du taux d’accroissement en + et - l’infini c’est ça? 

Merci pour vos réponses! 

[pzorba75]

Tu décomposes avec deux intervalles ]-infty;0] et [0;+\infty], tu choisis a et b dans chacun des intervalles tels que a<b et tu compares a^2 à b^2 pour conclure.

[anylor]

bonjour

_{xo appartient R}

tu calcules :

[f(x_o +h) - f(x_o)  ] / h       quand h tend vers 0

tu remplaces par ta fonction à étudier , ici fonction carrée .

[[x_o +h)² - x_o²]  / h

= [ x_o² + 2x_oh + h²  -x_o² ]  / h

ensuite tu factorises par h pour enlever le dénominateur

et comme h tend vers 0 , il devient insignifiant

tu trouveras  une limite finie et tu pourras en déduire que la fonction est dérivable sur R