Equation simple ?

[Black Jack]

Bonjour,

En ces jours de vaches maigres dans les demandes d'aide (vive les vacances) ...

Je propose de résoudre, pour passer le temps, une petite équation , soit x^y + y^x = 1 (avec x et y dans R²)

Quels sont les couples (x,y) solutions de cette équation.?

Toutes solutions, même partielles, peuvent évidemment être données.

 

 

 

 

 

 

 

[julesx]

Une solution partielle ?

Remarque préliminaire, sauf erreur de ma part, la fonction puissance n'est définie que pour des valeurs positives, ce qui implique que les couples (x,y) sont forcément dans R²+.

Mais je n'ai trouvé que les deux possibilités suivantes

(x,0) avec x appartenant à R+ car x⁰=1 et 0^x=0

(0,y) avec y appartenant à R+ car 0^y=0 et y⁰=1

en espérant que mes postulats sont licites, sinon,que les lecteurs considèrent ma réponse comme nulle et non avenue.

 

 

 

[Black Jack]

Merci pour ta réponse,

Pas mal julesx. (attention qu'il faut exclure (0 ; 0) des solutions)

Il reste cependant des solutions autres que celles indiquées.

En effet 3^(-1,2) et (-1,2)³ existent, ce qui va à l'encontre de ta remarque préliminaire.

Evidemment (3 , -1,2) n'est pas un couple solution, mais ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[julesx]

Effectivement, il faut exclure (0,0), donc, pour mes solutions, c'est (x,0) avec x appartenant à R+* et (0,y) avec y appartenant à R+*.

Par ailleurs, j'aurais du être plus précis, ma remarque à propos de la fonction puissance ne s'applique pas pour des exposants entiers ou fractionnaires.

J'avais aussi vu que x=y ne convient pas car le minimum de a fonction x^x pour x>0 est supérieur à 1/2.

 

[Black Jack]

il y a 7 minutes, julesx a dit :

Effectivement, il faut exclure (0,0), donc, pour mes solutions, c'est (x,0) avec x appartenant à R+* et (0,y) avec y appartenant à R+*.

Par ailleurs, j'aurais du être plus précis, ma remarque à propos de la fonction puissance ne s'applique pas pour des exposants entiers ou fractionnaires.

J'avais aussi vu que x=y ne convient pas car le minimum de a fonction x^x pour x>0 est supérieur à 1/2.

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Un exemple de solution : x = 24 et y = -0,99821798235... (arrondi)

Il reste à dire comment trouver ce type de solutions.

 

[julesx]

Il y a 18 heures, Black Jack a dit :

Il reste à dire comment trouver ce type de solutions.

C'est bien le problème, numériquement, on constate que l'équation xⁿ+n^x=1 admet, en plus de la solution x=0, une solution supplémentaire comprise entre -1 et 0 pour tout n entier et pair. Mais comment résoudre cette équation ?

Par contre, pour n négatif ou n impair, il ne semble pas y avoir d'autre solution que x=0.

 

[Black Jack]

Bien vu.

On peut démontrer, que l'équation n'a qu'une solution (x = 0) pour y impair et que l'équation a exactement 2 solutions (x = 0 et x dans ]-1 ; 0[) pour tout y pair 2.

On ne peut pas, je pense, résoudre l'équation (avec y pair 2) sauf peut être en utilisant des fonctions spéciales W de Lambert (je n'ai pas essayé), par compte, il est toujours possible d'approcher la valeur de y (ou de x si c'est y qui est pair 2) par approximations successives, jusqu'à n'importe quelle précision (sauf la valeur exacte).

L'intérêt de cet exercice n'est pas, je pense, de trouver la valeur exacte des solutions, mais de trouver toutes les "familles" de solutions, ce que tu as fait.