Raisonnement

[Shelly213]

Raisonnements mathématiques.

Exercice 1: 

Montre que 5I (x-1) implique 5I (x + 1)^2 + 1 

Exercice 2:

Soit z appartient à C. Montrer que z appartient à iR équivaut à I z - 1 I = I z + 1 I

Exercice 3: 

Montrer que f impaire ⇒ f(0) = 0 où f : R → R. 

Exercice 4:

Résoudre dans R, l'équation sqrt(x^2 + 2) = 3x

x^2 + 2 = 9x^2

8x^2 = 2

x^2 = 2/8

x = + ou - V1/V4

x = + ou - 1/2

donc x = + 1/2

Exercice 5: 

Soit n un entier naturel, montrer que si n^2 est pair alors n est pair.

On suppose que n^2 est impair. 

Il existe alors k appartenant à N tel que: n = 2k+1

n^2 = (2k +1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 

Or (2k^2 + 2k) est un entier et est impair.  Donc n^2 est impair. Par contraposition, ceci est équivalent à si n^2 est pair alors n est pair.

Exercice 6: 

Montrer que pour tout n appartenant à N, 3I n(n^2 + 2)

 

Je suis bloqué à des exercices dont je ne sais pas comment y résoudre .  Je vous prie de bien vouloir m'aider. 
Je voudrais aussi savoir, quand est ce qu'on utilise les raisonnements du type: absurde, contraposé ? 

PS: Je sais que le signe '' I '' signifie divise. 

Je vous remercie d'avance, bonne soirée à tous. 

[CitronVert]

Exo 1 :

Si 5 divise (x-1) , alors x-1 = 0 modulo 5. Je te laisse continuer.

Exo 2 :

Si z appartient à C il s'écrit z = a + ib.

| z - 1 | = | a - 1 + ib | = racine( (a-1)² + b² )

| z + 1 | = | a + 1 + ib | = racine ( (a+1)² + b² )

racine ((a-1)² + b²) = racine( (a+1)² + b²) <=> (a-1)² + b² = (a+1)² + b²

                                                                 <=> (a-1)² = (a+1)²

                                                                 <=> a² -2a + 1 = a² +2a +1

                                                                 <=> -2a = 2a

                                                                 <=> a = 0

Donc z vérifie la propriété si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est à dire si c'est un imaginaire pur. L'énoncé est faux, d'ailleurs on s'en rend trivialement compte en prenant z = 1.

Exo 3 :

Quelle est la définition de f impaire ? Tu devrais t'en tirer sans aucun problème à partir de là.

Exo 4 : 

Parfaitement juste. La démarche est très bonne. Pense juste à préciser à la fin que tu as vérifié que 1/2 marchait et que -1/2 ne marchait pas. Et il faut aussi rajouter des "implique" entre chaque ligne. Symbole => . (Surtout pas le symbole <=> par contre, car ici si tu fais les calculs dans l'autre sens ce n'est plus vrai)

Exo 5 :

Tu commences par dire "On suppose que n^2 est impair". C'est faux, dans ton raisonnement tu supposes que c'est n qui est impair. A part ça le raisonnement est juste.

Tu te demandes quand on utilise la contraposée ? Il n'y a pas de règle générale. Par contre dans ce cas de figure, pour montrer l'implication telle quelle on suppose que n^2 est pair, alors qu'en utilisant la contraposée on suppose que n est impair. C'est nettement plus pratique d'avoir une supposition sur n que sur n^2, donc dans ce cas de figure c'est ffectivement une bonne idée d'utiliser la contraposée. Mais on n'est pas obligé de le faire, c'est juste une "astuce" et pas LA réponse. il existe d'autres démonstrations sans passer par l'absurde. Par exemple, tu peux dire que l'écriture en facteurs premiers de n^2 est la même que celle de n, avec tous les exposants doublés. (Par exemple si n = 18 = 2*3² , alors n² = 324 = 2²*3⁴ ) Donc si n² est pair, cela signifie que l'exposant de 2 vaut au moins 1, donc qu'il vaut au moins 2 et qu'il apparaît aussi dans l'écriture de n. Donc si n² est pair, n est pair.

Exo 6 :

Prends au cas par cas. Si n = 0 modulo 3, puis n = 1 modulo 3, puis n = 2 modulo 3. Tu verras que dans tous les cas, n(n^2+2) = 0 modulo 3

Bonne soirée.

[Shelly213]

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponse. Mais qu'est ce que " modulo " ? 

Exercice 3: 

Une fonction impaire: la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère. 

Merci, 

[Shelly213]

Je n'ai pas fait de congruence. Il y aura t il pas une autre méthode s'il vous plaît ? 
Je ne comprend pas pour les complexes,  | z - 1 | = | a - 1 + ib | = racine( (a-1)² + b²). Où est le i ? On sait que i^2 = -1. 

Pourrait-on écrire  | z - 1 | = | a + ib - 1 | ? Pourriez vous m'expliquer. 

Merci d'avance, 

[CitronVert]

Je ne vois pas vraiment l'intérêt de faire de l'arithmétique sans les modulo. Mais oui c'est toujours possible de le justifier autrement.

Exo 1 :

Si 5 divise x-1 alors il existe k dans N tel que x-1 = 5k.

Donc x + 1 = 5k + 2.

Donc (x+1)² = (5k+2)²

Donc (x+1)² + 1 = (5k+2)² + 1

Donc (x+1)² + 1 = 25k² + 4*5k + 4 + 1

                          = 5*5k² + 5*4k + 5

Donc (x+1)² + 1 est divisible par 5.

 

Exo 2 :

Je vais reprendre cette partie très en détail.

Pour commencer, la définition du module. Pour z = A + i B, |z| = racine(A²+B²). Comme tu peux le voir, il n'y a plus de i dans le résultat : le module donne un résultat réel. C'est la distance de z par rapport à l'origine dans le plan complexe.

Il y a 5 heures, Shelly213 a dit :

Pourrait-on écrire  | z - 1 | = | a + ib - 1 | ? Pourriez vous m'expliquer.

Oui. Par contre pour utiliser la définition tu dois remarquer qu'ici A = a - 1 et B = b.

 

Il y a 5 heures, Shelly213 a dit :

Je ne comprend pas pour les complexes,  | z - 1 | = | a - 1 + ib | = racine( (a-1)² + b²). Où est le i ? On sait que i^2 = -1.

Il n'y a pas besoin d'utiliser i² = -1 dans ce problème. Si tu veux absolument le faire apparaître, tu peux utiliser le fait que |z|² = z*conjugué(z).

ça donne |z|² = (a-1+ib)*(a-1-ib) = (a-1)² - (ib)² = (a-1)² + b²

Donc |z| = racine( (a-1)² + b² ) . J'obtiens bien le résultat.

 

Au fait j'avais lu R au lieu de iR donc l'énoncé n'est pas faux.

 

Exo 3 :

Il y a 6 heures, Shelly213 a dit :

Une fonction impaire: la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.  

 

Si la courbe doit être symétrique par rapport à l'origine, tu ne vois pas quelle valeur elle doit prendre en 0 ?

Soit y la valeur prise par la fonction en 0. C'est à dire f(0) = y. Le point de coordonnées (0,y) appartient donc à la courbe de f. Donc son symétrique doit aussi lui appartenir. Or le symétrique de (0,y) par rapport à l'origine est (0, -y). Donc (0, -y) appartient aussi à la courbe, c'est à dire que f(0) = -y. Mais la fonction ne peut prendre qu'une seule valeur en 0, donc f(0) = y = -y. Donc y = 0.

 

Mais ce n'est pas du tout pratique comme définition. La définition que j'attendais est "f impaire <=> pour tout x, f(x) = - f(-x) " . A l'avenir je te conseille plutôt de partir de cette définition (qui est équivalente à celle que tu as écrite). Essaie de refaire l'exercice avec cette définition, ça se fait en 2 lignes.

 

Exo 6 :

Sans les congruences je trouve cet exercice idiot. Du coup, fais le par récurrence.

[CitronVert]

J'en profite pour signaler que comme l'exercice s'appelle "Raisonnement" , il faudra peut-être (pour une fois !!) faire attention à la rédaction. Peux-tu reprendre l'exercice 5 et me montrer comment tu le rédigerais en faisant bien attention ?

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir CitronVert,

Je pense qu'il faut la voir plus comme une TS spé maths que comme une personne en licence (de maths ?).

Pour l'exercice n°2, il approche géométrique nous permet de faire l'économie des calculs. Soient les points M d'affixe z, A d'affixe z_A = 1 et B d'affixe z_B = -1.

I z - 1 I = I z + 1 I <==> | z - z_A |  = |z - z_B| <==> MA = MB <==> M appartient à la médiatrice de [AB], soit l'axe des ordonnées. Donc, z appartient aux imaginaires purs.

 

[CitronVert]

Oui et je dirais même que c'est l'approche intuitive. Mais je pense que ça va moins lui parler, parce que si elle ne connaît pas la définition du module, il y a peu de chances qu'elle sache ce que ça représente graphiquement. (D'ailleurs je suis assez surpris que ce soit toi qui proposes cette solution )

[Shelly213]

Bonsoir,

Tout d'abord je voudrais remercier CitronVert & Boltzmann_Solver pour vos précieuses aides. 

Pour l'exercice 3: si j'ai bien compris. 

 f est impaire si pour tout réel x appartenant à D_f alors - x appartient à D_f et f(-x) = - f(x).

Pour x = 0 

f(0) = f(-0). Le seul nombre égal à son opposé est 0. Or '' -0 '' n'existe pas.

Donc f(0) = 0.

exercice 5: 

On veut que n^2 est pair alors n est pair.

On suppose que n est impair. Il existe alors k appartenant à N tel que: n = 2k+1

Ainsi  n^2= (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 

 (2k^2 + 2k) est entre donc n^2 est impair.

On a montré que si n est impair alors n^2 est impair. Donc par contraposition, n^2 est pair alors n est pair. 

Merci,

Bonne soirée,

 

[Shelly213]

Pour l'exercice 2: 

Merci Boltzmann_Solver.

Est-ce que ma rédaction est bonne ? 

IZI est une distance entre O et M'

On nomme IZ-1I => B(Z_A = 1)  ; IZ+1I => A(Z_B= -1)

I Zm - 1 I = I Zm + 1 I 

MA = MB

M est équidistant de A et B

L'ensemble des points M tels que module Z soit égal à 1 est Ella médiatrice de segment [AB]

 Merci d'avance,

Bonne soirée

[CitronVert]

De façon générale, ta rédaction est assez difficile à comprendre voire incompréhensible par endroits, mais je pense que c'est plutôt lié au français qu'à ta compréhension des maths. Tu sembles bien maitriser les raisonnements. En quelle classe es-tu stp ?

 

il y a 58 minutes, Shelly213 a dit :

Pour l'exercice 3: si j'ai bien compris. 

 f est impaire si pour tout réel x appartenant à D_f alors - x appartient à D_f et f(-x) = - f(x).

Pour x = 0 

f(0) = f(-0). Le seul nombre égal à son opposé est 0. Or '' -0 '' n'existe pas.     <- Quoi ???

Donc f(0) = 0.

 

Je ne comprends pas la démarche. Il doit manquer un symbole " - ", et que vient faire l'existence de -0 dans cette histoire ?

La démonstration est simplement "f(0) = - f(-0)  =>  f(0) = - f(0)  =>  f(0) = 0."

 

il y a 58 minutes, Shelly213 a dit :

exercice 5: 

On veut que n^2 est pair alors n est pair.

On suppose que n est impair. Il existe alors k appartenant à N tel que: n = 2k+1

Ainsi  n^2= (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 

 (2k^2 + 2k) est entre donc n^2 est impair.

On a montré que si n est impair alors n^2 est impair. Donc par contraposition, n^2 est pair alors n est pair.

 

Au temps pour moi, je t'ai dit de refaire l'exo 5, je voulais dire l'exo 4 ...  à part ça il y a quelques phrases bizarres mais c'est bon (c'était déjà bon dans ton premier message).

 

 

il y a 37 minutes, Shelly213 a dit :

Pour l'exercice 2: 

Merci Boltzmann_Solver.

Est-ce que ma rédaction est bonne ? 

IZI est une distance entre O et M'

On nomme IZ-1I => B(Z_A = 1)  ; IZ+1I => A(Z_B= -1)    -> rien compris

I Zm - 1 I = I Zm + 1 I 

MA = MB

M est équidistant de A et B

L'ensemble des points M tels que module Z soit égal à 1 est Ella médiatrice de segment [AB]   ???

L'ensemble des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z+1| est la médiatrice du segment [AB], donc l'axe des imaginaires purs.

 Merci d'avance,

Bonne soirée

 

Grâce au mot "médiatrice" tu auras probablement les points, mais je te conseille de reprendre la rédaction de Boltzmann.

Bonne soirée,

[Boltzmann_Solver]

Il y a 14 heures, Shelly213 a dit :

Pour l'exercice 2: 

Merci Boltzmann_Solver.

Est-ce que ma rédaction est bonne ? 

IZI est une distance entre O et M' (J'en sais rien. Je ne connais ni Z, ni O et ni M'. Des objets non définis ne veulent rien dire).

On nomme IZ-1I => B(Z_A = 1)  ; IZ+1I => A(Z_B= -1) Un nombre n'implique pas un point. Enfin, je présume que B(Z_A = 1) est un point.

I Zm - 1 I = I Zm + 1 I (Je ne connais pas Zm).

<==> (je présume que tu déduis cette ligne de la ligne du dessus) MA = MB 

<==> (je présume que tu déduis cette ligne de la ligne du dessus) M est équidistant de A et B

Donc, l'ensemble des points M tels que module Z soit égal à 1 est la médiatrice de segment [AB]

 Merci d'avance,

Bonne soirée

Bonjour Shelly,

Je t'en prie. Je n'ai pas fait grand chose.

Cette rédaction est clairement fausse car :

- tu ne mets pas les équivalences, implications au bon endroit.

- tu ne mets pas les équivalences, implications à bon escient.

- tu ne déclares pas proprement les objets mathématiques employés.