DM Maths : Continuité ?

[Lucyaa]

Enoncé : 

Lors d'une course cycliste, le profil du parcours est modélisé par f(x)=0.001x³ -0.21x² + 13.5x +25.2
f(x) est l'altitude exprimée en mètres et x la distance parcourue à plat en km.
On considère qu'à moins de 100m d'altitude les coureurs sont en plaine.
Quelle est la proportion de parcours en plaine dans cette course sachant que l'arrivée est située à 140km (comptés à plat) du départ?

Ce que j'ai fait : 

f(x) est dérivable sur R+ car c'est un polynome du 3ème degré. Elle est donc continue sur R+ : f'(x)= 0.003x² -0.42x + 13.5 

J'ai calculé delta pour pouvoir étudier les variations de f : delta = 0.0144 -> x₁ = 90 et x₂ = 50 -> Tableau de variations 

Valeurs pour f(0) = 25.2 ; f(50) = 300.2 ; f(90) = 268.2 

Grâce au théorème des valeurs intermédiaires on peut dire qu'il y a une solution pour l'équation f(x) = 140 qui est (trouvé grace à la calculatrice) 9.98 

Problème : 

Je n'ai pas utilisé le fait qu'à moins de 100m d'altitude les coureurs sont en plaine et je trouve le résultat un peu faible, 9.98 serait la proportion de parcours en plaine ? Du coup je me demande si il ne fallait pas faire f(x) - 100 c'est à dire : 0.001x³ - 0.21x² + 13.5x - 74.8 et ensuite dériver cette nouvelle fonction, faire son tableau ect... 

Ou ce n'est peut être pas du tout ce qu'il faut faire ?

Merci d'avance de m'aider  ! 

 

[CitronVert]

Le début est bon (variations), mais ensuite tu t'égares : Que représente f(x) = 140 ? (Rien ^^)
Observe la courbe de la fonction, elle croît très vite au-dessus de 100m, varie ensuite un peu mais reste au dessus de 100m. En fait, elle n'est en plaine qu'au tout début, jusqu'à x=6 à peu près. Vois-tu maintenant comment t'y prendre ? La clé de cet exercice, c'est ton tableau de variations.

[CitronVert]

En fait il y a 2 parties dans cet exercice :

- Trouver à partir de quand on sort de la plaine. Ce que tu as fait avec la calculatrice (sauf que ce n'est pas f(x) = 140 qu'on cherche !)

- Montrer, grâce au tableau de variations, que les cyclistes resteront en plaine ensuite, c'est à dire que f(x) reste au dessus d'une certaine valeur. Attention c'est important, ce n'est pas parce que la fonction monte que rien ne l'empêche de redescendre après.

[Lucyaa]

- En faite 140 doit plutot figurer dans mon tableau et donc f(x) = 100 on regarde ensuite les valeurs qui sont en dessous de 100 ? c'est a dire les valeurs qui sont entre 0 et 6 ?

- Après je ne suis pas sure de comprendre comment on peut montrer 

Modifié le 22 décembre 2015 par Lucyaa

[CitronVert]

En effet on dirait que tu ne comprends pas trop, pourtant tu as largement fait le plus dur. Réfléchis à ce que représente x , et à ce que représente f(x). Il te reste seulement une division à faire.

[Lucyaa]

Euuh... x c'est la distance parcourue a plat du coup on fait 140/6 ? ce qui donnerait environ 23.3 km qui est en plaine ? 

[CitronVert]

Je ne sais pas trop quoi te dire ^^ Tu te souviens comment tu as calculé ce 6 ? Qu'est-ce qu'il représente ?

[Lucyaa]

Grace a la calculatrice j'ai trouvé 6 pour f(x) = 100. Donc 6 c'est censé être la distance parcourue à plat et 140 c'est la distance entre le départ et l'arrivée 

[CitronVert]

Si tu veux je peux te donner la solution direct, mais c'est dans ton intérêt que tu comprennes. Pour commencer, une astuce : Ici ton 140 représente la distance totale, donc des kilomètres (on dit "homogène à des kilomètres"). Donc, quand tu divises 140 (des kilomètres) par 6 (des kilomètres), tu obtiens une proportion. Surtout pas d'autres kilomètres !

Reprenons :

x = 6 km est la valeur à partir de laquelle on passe au dessus de f(x) = 100 m.

pour 0 x 6 , on a f(x) 100

pour 6 x 140 , on a f(x) 100

On cherche la proportion du trajet parcourue en plaine, c'est-à-dire où f(x) 100 , par rapport au trajet parcouru total. Est-ce que tu vois maintenant qu'est-ce qu'il faut diviser par quoi et est-ce que tu en es bien convaincue ? Ensuite, est-ce que tu peux me dire pourquoi tu as calculé la dérivée et le tableau de variations ?

 

[Lucyaa]

Il faut diviser 100 par 6 ? Je crois que je n'ai pas compris du tout vraiment désolée. 

 

[CitronVert]

Oublie les maths, c'est un problème de logique.

J'ai 15 km à parcourir. Je fais 5 km à pied , puis 10 km en voiture. Quelle proportion (ou pourcentage, c'est quasiment pareil) du trajet ai-je fait à pied ?

[Lucyaa]

1/3 du trajet est fait à pied ? 

[CitronVert]

Voilà. Tu divises le trajet parcouru par le trajet total. Note que tu divises des km par des km, donc tu obtiens un nombre sans dimensions, ça colle bien pour être une proportion.

Ici :

quel est le trajet total à parcourir ?

quelle est la partie du trajet qui nous intéresse ?

(Indice : ces 2 grandeurs doivent être homogènes. )

Est-ce que tu comprends bien ce qu'est une fonction et ce qu'elle représente ? j'aimerais bien t'aider mais je ne vois pas ce qui te bloque. Je trouve même ça effarant qu'on vous apprenne à résoudre un trinôme et calculer des dérivées mais que vous ne soyez pas sûrs de vous sur des choses simples comme ça.

[Lucyaa]

Le trajet total est de 140 et la partie du trajet qui nous intéresse est 6 du coup 6/140 ca donne environ 0.04. Donc la proportion de parcours en plaine est de 0.04. 

Je crois comprendre maintenant merci. En faite je n'avais jamais entendu parlé de proportions c'est peut être pour ca que je ne comprenais pas.

[CitronVert]

C'est effectivement la bonne réponse. Autre question, est-ce que tu as compris pourquoi on a calculé le tableau de variations ?

 

[Lucyaa]

Merci beaucoup 

Pour trouver pour quelle valeur de x f(x) = 100 

[Alice055]

Bonjour, j’ai le même dm à faire et j’ai compris toute la démarche sauf le moment on on trouve 6. 

Je ne comprend pas comment faire pour trouver x=6 

pouvez vous m’aider svp ?

[PAVE]

Bonjour,

Tu fais des études de paléontologie ? tu as déterré un vieux fossile avec cet exercice ?...

On est en plaine (d'après l'énoncé)  tant que f(x) est inférieur à 100 m d'altitude. Donc en principe il te faut résoudre l'inéquation f(x) < 100 ! le problème est que cette inéquation est du troisième degré... et par un calcul direct, il est peu probable que tu saches faire ☹️.

Donc il va falloir faire appel au tableau de variation de f (que bien sûr tu as fait... exact !) et accessoirement à la courbe représentative de f. La valeur de x pour laquelle f(x) devient supérieure à 100 est VISIBLE ! Pour démonter l'existence de cette valeur et en calculer une  valeur approchée.... tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (si tu l'as vu en classe !!).

Sur l'intervalle [0;10] par exemple, l'étude du sens de variation de f puis le calcul de f(0) et de f(10), te permet d'encadrer la valeur de x pour laquelle f(x) = 100. Puis par encadrements successifs (avec ta calculatrice en mode tableau par exemple), tu vas préciser cette valeur.

Bon courage.

[anylor]

bonjour

f(x) est l'altitude exprimée en mètres et x la distance parcourue à plat en km.
On considère qu'à moins de 100m d'altitude les coureurs sont en plaine.

pour connaitre quelle est la distance parcourue en plaine (avant d'être en altitude)

f(x) < 100

0.001x³ -0.21x² + 13.5x +25.2 = 100

si x= 6,1........

pour résoudre l'équation, tu rentres la fonction dans ta calculatrice

0.001x³ -0.21x² + 13.5x +25.2 -100 = 0

0.001x³ -0.21x² + 13.5x -74,8

et tu lis pour quel x , elle traverse l'axe des abscisses 

(environ x= 6)