1ère S Fonction Cos, Sin, Tan ...

[clarie]

bonsoir,

Je n'arrive pas a m'en sortir avec cet exercice, pourrait-on m'aider, c'est vraiment important.

1) Donner les domaines de déffinition des fonction suivante :

Cos : x -> cos(x)

Sin : x -> sin (x)

Tan : x -> tan (x)

2) En déduire que sin (x) / x admet une limite en 0 et démontrer que lim quand x tend vers 0 de (sin (x)/x) = 1.

3) Démontrer que limite quand h tend vers 0 de

((sin(h/2))/h) = 1/2.

4) En déduire que cos est dérivable sur R et que cos' = -sin.

5) Quelle est le domaine de dérivabilité de la fonction tan?

6) Démontrer que sur son domaine de dérivabilité,

tan' = 1/cos² = 1 + tan².

Merci d'avance.

[Kastonia]

Salut

1)

cos définie sur IR

sin définie sur IR

tan définie sur IR - {kPi + Pi/2} (avec k € Z)

2)

lim sin(x)/x

h->0

= lim (sin(x) - sin(0))/(x - 0) (on revient à la définition du nombre dérivé)

h->0

= (sin(0))'

= 1

3)

lim ((sin(h/2))/h)

h->0

On pose X = h/2

lim 1/2 *(sin(X)/X)

h->0

Or d'après la question précédente lim h->0 sin(x)/x = 1

D'où

lim ((sin(h/2))/h) = 1/2

h->0

4)

http://homeomath.chez.tiscali.fr/deri4.htm

5) IR - {kPi + Pi/2} (avec k € Z)

6)

(tan)' = (sin/cos)' = (cos² + sin²)/cos²

Tu as deux choix :

- Soit tu dit que cos² + sin ² = 1 et dans ce cas (tan)'=1/cos²

- Soit tu décompose en deux fractions :

(cos² + sin²)/cos² = cos²/cos² + sin²/cos² = 1 + (sin/cos)² = 1 + tan²

Bonne journée

:P