Devoir (Ex 3 et 4) sur les suites arithmétiques et géométriques si possible pour m. Barbidoux

[Matt-120]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide s'il vous plaît car j'ai vraiment du mal à faire ces exercices.

Merci d'avance.

Exercice 3 :

Le tableau ci-joint donne la population mondiale en millions d'habitants entre 1950 et 2000.

1/ Calculer les taux d'évolution de la population a) entre 1970 et 1980, b) entre 1980 et 1990 et c) entre 1990 et 2000 (on arrondira a 0,1 %).

a) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1970 et 1980 est défini par :

=> 1+T=4453/3683 soit T=4453/3683-1= environ 0,209 soit 20,9% à 0,1% près.

La population a augmenté de 20,9% entre 1970 et 1980.

b) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1980 et 1990 est défini par :

=> 1+T=5201/4453 soit T=5201/4453-1= environ 0,168 soit 16,8% à 0,1% près.

La population a augmenté de 16,8% entre 1980 et 1990.

c) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1990 et 2000 est défini par :

=> 1+T=6080/5201 soit T=6080/5201-1= environ 0,169 soit 16,9% à 0,1% près.

La population a augmenté de 16,9% entre 1990 et 2000.

2/ Calculer le taux d'évolution de la population entre 1950 et 2000.

=> Le coefficient multiplicateur global entre 1950 et 2000 est : C_mglobale = 6080/2500=2,432.

Le taux d'évolution global entre 1950 et 2000 vérifie donc : 1+T=2,432 soit T=1,432.

Le taux d'évolution global est donc de 143,2%.

La population a augmenté de 143,2% entre 1950 et 2000.

En déduire le taux d'évolution décennal (sur 10 ans) moyen sur cette période (on arrondira à 0,1 %). Comparer avec les taux réels du tableau.

=> Le taux d'évolution décennal moyen t vérifie (1+t)^5 = 1+T car on compte 5 décennies entre 1950 et 2000.

On en déduit 1+t = (1+T)^1/5 soit t = (1+T)^1/5-1 = (2,432)^1/5-1 = environ 0,195.

Le taux décennal moyen d'évolution entre les années 1950 et 2000 est donc d'environ 19,5 %.

Ensuite on me demande de comparer le taux d'évolution décennal moyen d'environ 19,5 % avec les taux réels du tableau. On peut donc dire que le taux d'évolution décennal moyen est très proche des taux réels du tableau. En fait, je sais pas trop quoi répondre à cette question.

J'ai donc essayé de répondre aux questions 1/ et 2/ mais je ne sais pas si les réponses que j'ai donné sont bonnes ??? Par contre, j'ai pas réussi à faire les questions 3/, 4/ et 5/. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

3/ On veut faire une simulation de l'évolution de la population mondiale. Pour cela on calcule le taux d'évolution annuel moyen correspondant au taux décennal précédent.

a) Montrer que ce taux est de 1,8 % d'augmentation par an (arrondi à 0,1 %).

b) On note P_n la population mondiale calculée avec ce taux annuel, n années après 1950.

Calculer P₁₀, P₃₀ et P₅₀ (on fera les calculs exacts, et on arrondira a l'unité).

4/ Dans un de ses livres, Albert Jacquard affirme : ≪ Un accroissement d'une population de 2 % par an peut sembler bien faible, il correspond pourtant à un doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans, à une multiplication par 7 en moins d'un siècle. ≫

a) Vérifier la première affirmation sur le doublement.

b) Avec le taux d'accroissement de 1,8 % par an, calculer P₃₅. Y a-t-il doublement de la population en 35 ans ?

c) Combien d'années faut-il pour qu'il y ait doublement de la population avec 1,8 % d'augmentation par an ? (on pourra utiliser la calculatrice, à condition de donner les résultats permettant de répondre à la question).

5/ Toujours avec ce même taux, par combien est multipliée la population en un siècle ?

Exercice 4 :

Un particulier emprunte 150 000 € et veut rembourser sur 15 ans au taux de 7,5 % par an.

1/ a) Il souhaite rembourser par annuités constantes, la première étant versée un an après l'emprunt.

Quelle sera la valeur de cette annuité ?

b) Il obtient de sa banque un décalage de remboursement d'une année. La première annuité sera versée deux ans après l'emprunt,

et la dernière (la 15e) 16 ans après.

Quelle sera alors la valeur de cette annuité ?

2/ Il souhaite rembourser par 180 mensualités constantes, la première étant versée un mois après l'emprunt.

a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux de 7,5 % par an.

b) Quelle sera la valeur de cette mensualité ?

=> J'ai pas réussi à faire cet exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[Barbidoux]

Exercice 3 :

Le tableau ci-joint donne la population mondiale en millions d'habitants entre 1950 et 2000.

1/ Calculer les taux d'évolution de la population a) entre 1970 et 1980, b) entre 1980 et 1990 et c) entre 1990 et 2000 (on arrondira a 0,1 %).

a) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1970 et 1980 est défini par :

=> 1+T=4453/3683 soit T=4453/3683-1= environ 0,209 soit 20,9% à 0,1% près.

La population a augmenté de 20,9% entre 1970 et 1980.

b) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1980 et 1990 est défini par :

=> 1+T=5201/4453 soit T=5201/4453-1= environ 0,168 soit 16,8% à 0,1% près.

La population a augmenté de 16,8% entre 1980 et 1990.

c) Le taux d'évolution T de la population mondiale en millions d'habitants entre 1990 et 2000 est défini par :

=> 1+T=6080/5201 soit T=6080/5201-1= environ 0,169 soit 16,9% à 0,1% près.

La population a augmenté de 16,9% entre 1990 et 2000.

2/ Calculer le taux d'évolution de la population entre 1950 et 2000.

=> Le coefficient multiplicateur global entre 1950 et 2000 est : C_mglobale = 6080/2500=2,432.

Le taux d'évolution global entre 1950 et 2000 vérifie donc : 1+T=2,432 soit T=1,432.

Le taux d'évolution global est donc de 143,2%.

La population a augmenté de 143,2% entre 1950 et 2000.

En déduire le taux d'évolution décennal (sur 10 ans) moyen sur cette période (on arrondira à 0,1 %). Comparer avec les taux réels du tableau.

=> Le taux d'évolution décennal moyen t vérifie (1+t)^5 = 1+T car on compte 5 décennies entre 1950 et 2000.

On en déduit 1+t = (1+T)^1/5 soit t = (1+T)^1/5-1 = (2,432)^1/5-1 = environ 0,195.

Le taux décennal moyen d'évolution entre les années 1950 et 2000 est donc d'environ 19,5 %.

Le taux d'évolution décennal moyen est très proche des taux réels du tableau, ce qui montre que l'évolution est régulier et constant dans sa proportion.

3/ On veut faire une simulation de l'évolution de la population mondiale. Pour cela on calcule le taux d'évolution annuel moyen correspondant au taux décennal précédent.

a) Montrer que ce taux est de 1,8 % d'augmentation par an (arrondi à 0,1 %).

décennal moyen t vérifie (1+t)^50 = 1+T car on compte 50 ans entre 1950 et 2000

On en déduit 1+t = (1+T)^1/50 soit t = (1+T)^1/50-1 = (2,432)^1/50-1 = 0,0179≈0,018=1.8 %

b) On note P_n la population mondiale calculée avec ce taux annuel, n années après 1950.

Calculer P₁₀, P₃₀ et P₅₀ (on fera les calculs exacts, et on arrondira a l'unité).

Pn est une suite géométrique de premier terme P₀ et de raison r=1+0.018 et terme général P_n=P_n-1*r=P₀*r^n

P₁₀=2500*1.018^10=2988

P₃₀=2500*1.018^30=4269

P₅₀=2500*1.018^50=6099

4/ Dans un de ses livres, Albert Jacquard affirme : ≪ Un accroissement d'une population de 2 % par an peut sembler bien faible, il correspond pourtant à un doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans, à une multiplication par 7 en moins d'un siècle. ≫

a) Vérifier la première affirmation sur le doublement.

P₃₅=2500*1.02^35=5000 affirmation correcte

b) Avec le taux d'accroissement de 1,8 % par an, calculer P₃₅. Y a-t-il doublement de la population en 35 ans ?

P₃₅=1.018^10=4668

La population ne double pas au bout de 35 ans

c) Combien d'années faut-il pour qu'il y ait doublement de la population avec 1,8 % d'augmentation par an ? (on pourra utiliser la calculatrice, à condition de donner les résultats permettant de répondre à la question).

On procède par essais successifs

P₃₈=4924

P₃₉=5013

réponse 39 ans

5/ Toujours avec ce même taux, par combien est multipliée la population en un siècle ?

P₁₀₀=14884 ==> 14884/2500=5.95 ≈6

La population est multipliée par 6

Exercice 4 :

Un particulier emprunte 150 000 € et veut rembourser sur 15 ans au taux de 7,5 % par an.

1/ a) Il souhaite rembourser par annuités constantes, la première étant versée un an après l'emprunt.

Quelle sera la valeur de cette annuité ?

b) Il obtient de sa banque un décalage de remboursement d'une année. La première annuité sera versée deux ans après l'emprunt,

et la dernière (la 15e) 16 ans après.

Quelle sera alors la valeur de cette annuité ?

2/ Il souhaite rembourser par 180 mensualités constantes, la première étant versée un mois après l'emprunt.

a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux de 7,5 % par an.

b) Quelle sera la valeur de cette mensualité ?,

------------------------

En ce qui concerne l'exercice 4, sa résolution est assez complexe si l'on ne considère pas comme admises les relations de calcul des annuités d'emprunts à taux fixes et annuités constantes. Les as tu vu en cours ??

[Matt-120]

Tout d'abord, je vous remercie de m'avoir aidé à finir l'exercice 3. Oui, dans mon cours de terminale, on a vu les relations de calcul des annuités d'emprunts à taux fixes et annuités constantes.

[Matt-120]

On a vu les relations de calcul des annuités d'emprunts à taux fixes et annuités constantes. Cependant, je n'arrive pas à faire cet exercice car j'ai vraiment du mal à comprendre et appliquer les formules du cours. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance.

[Barbidoux]

Exercice 4 :

Un particulier emprunte 150 000 € et veut rembourser sur 15 ans au taux de 7,5 % par an.

1/ a) Il souhaite rembourser par annuités constantes, la première étant versée un an après l'emprunt.

Quelle sera la valeur de cette annuité ?

--------------------

La valeur de l'annuité est calculée en utilisant la relation :

a=i*D₀/(1-(1+i)^(-n)

où a est l'annuité i le taux d'intérêt n le nombre d'année de remboursement et D0 la dette initiale

a=0.075*150000/(1-(1+0.075)^(-15))=16993.09

On peut ainsi calculer le tableau d'amortissement du prêt où la dette de rang n+1 a pour expression :

D_n+1= D_n(1+i)-a avec D₀ le montant de la somme empruntée.

b) Il obtient de sa banque un décalage de remboursement d'une année. La première annuité sera versée deux ans après l'emprunt, et la dernière (la 15e) 16 ans après. Quelle sera alors la valeur de cette annuité ?

On utilise toujours la même relation mais, le prêt étant remboursé de manière décalé, il faut prendre en compte les intérêt de la première année et prendre pour nouvelle valeur de DO la valeur D0*(1+i)

a=0.075*150000*(1.075)/(1-(1+0.075)^(-15))=18267,57 €

2/ Il souhaite rembourser par 180 mensualités constantes, la première étant versée un mois après l'emprunt.

a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux de 7,5 % par an.

7.5% par an correspond à un intérêt mensuel de 0.00625 soit 0.625%

b) Quelle sera la valeur de cette mensualité ?

La même relation est utilisable pour calculer les mensualités

a=0.00625*150000/(1-(1+0.00625)^(-180))=1390.52 €