Fonctions, inéquations

[Matt-120]

Exercice :

Une entreprise fabrique des lampes de chevet en bois. Elle ne peut en fabriquer plus de 50 par jour. Le coût total de production, exprimé en euros, est déterminé par :

C(x) = 0,2 x ² + 20x +80.

Chaque lampe fabriquée est vendue 30 euros.

1.a. Calculer C(41) -C(40).

b. Vérifier que pour tout x, le coût marginal du x ^ième objet, C(x + 1) - C(x) est égal à 0,4x + 20,2.

c.Déterminer C' (x)

d.Calculer C'(40) et comparer avec la valeur de C(41) - C(40) trouvée au a.

e. Déterminer l'erreur commise quand on prends C' (x) comme valeur approchée du coût marginal du x^ième objet.

2.a. Déterminer le chiffre d'affaires réalisé quand l'entreprise vend x lampes.

b. On note B(x) le bénéfice réalisé par la vente de x lampes.

Montrer que B(x) = -0,2 x² +10x -80.

c.Calculer B'(x).

d. En assimilant le bénéfice marginal du x ^ième objet à B' (x), calculer le bénéfice marginal de la 20 ^ième lampe, puis celui de la 40 ^ième lampe.

[Papy BERNIE]

Bonjour ? Merci de m'aider ? Envoyer ce que tu as déjà fait ? Non ?

[Matt-120]

Oui excusez- moi, j'étais pressé et j'ai posté mon exercice en vrac, je m'en excuse. Tout d'abord bonjour et merci de m'avoir répondu. Voici ce que j'ai déjà fait :

1.a. Calculer C(41) -C(40).

J'ai calculé C(40), j'ai trouvé 1200. Puis j'ai calculé C(41), j'ai trouvé 1236,2. Enfin j'ai calculé C(41)-C(40) = 1236,2-1200 = 36,20 et c'est le coût marginal de la 40 ème lampe de chevet.

b. Vérifier que pour tout x, le coût marginal du x ^ième objet, C(x + 1) - C(x) est égal à 0,4x + 20,2.

Je ne met pas toutes les étapes, juste la fin : C(x+1)-C(x) = 0,2 x² - 0,2 x ² = 20,4x - 20x + 100,2 - 80 = 0,4x + 20,2. Donc la vérification est correcte.

c.Déterminer C' (x) et comparer avec la valeur de C(41) - C(40)

C(x') = 2*0,2x + 20 = 0,4x + 20.

Pour comparer 0,4x + 20 qui est C'(x) avec 0,4x + 20,2 (coût marginal du x ^ième objet), je ne sais pas quoi faire, faut-il faire une soustraction pour à la fin trouver 0,2? Que dire?

Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez. Je vais essayer de poursuivre l'exercice.

[Matt-120]

Petite rectification : la question 1.c, c'est juste " Déterminer C' (X) ", il n'y a rien à comparer en fait, ce sera pour la question 1.d.

[Papy BERNIE]

Rebonjour,

1)

a) b) Bon

c) C ' (x)=0.4x+20 : Bon.

Pour la comparaison demandée , tu calcules :

C '(40)=0.4*40+20=36

Le résultat est assez proche de ce que l'on a trouvé comme coût marginal au a).

e) L'erreur , en valeur absoule est de : 36.2-36=0.2

soit (0.2/36.2)*100 en pourcentage

soit une erreur d'environ 0.55 % .

J'envoie ça en attendant ta suite.

[Matt-120]

e. Déterminer l'erreur commise quand on prends C' (x) comme valeur approchée du coût marginal du x^ième objet.

Pour cette question, l'erreur en valeur absolue ne serait-elle pas plutôt : |36 - 36,2| = 0,2 ? En fait, j'ai appliqué la formule suivante pour calculer l'erreur commise : C'(x) - (C(x+1) - C(x)), sans remplacer x par 40, ce qui me donne - 0,2 et 0,2 en valeur absolue. Dans la formule, ce n'est pas spécifié que je dois la mettre en valeur absolue mais cependant, je pense qu'il faut tout de même utiliser la valeur absolue du fait qu'une erreur exprimée en euros ne peut être négative. Aussi, si vu comment la question est formulée, je ne sais pas s'il est nécessaire de remplacer x par 40 bien que cela donnerait strictement le même résultat. Merci de m'éclaircir un petit peu sur cette question.

2.a. Déterminer le chiffre d'affaires réalisé quand l'entreprise vend x lampes.

B(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x)

b. On note B(x) le bénéfice réalisé par la vente de x lampes.

Montrer que B(x) = -0,2 x² + 10x - 80.

B(x) = 30x - C(x) = 30x - (0,2 x² + 20x + 80) = 30x - 0,2x² - 20x - 80 = -0,2x² + 10x - 80

c. Calculer B'(x).

B'(x) = 2*(-0,2)*x +10 = -0,4x + 10

d. En assimilant le bénéfice marginal du x ^ième objet à B' (x), calculer le bénéfice marginal de la 20 ^ième lampe, puis celui de la 40 ^ième lampe.

Comme on assimile le bénéfice marginal du x ^ième objet à B' (x), on a donc : B'(x) = B(x+1) - B(x) = -0,4x +10.

On calcule le bénéfice marginal B'(20) de la 20 ^ième lampe.

B'(20) = -0,4*20 + 10 = -8 + 10 = 2

On calcule le bénéfice marginal B'(40) de la 40 ^ième lampe.

B'(40) = -0,4*40 + 10 = -16 + 10 = -6

Enfin je ne suis pas très sûr à propos de cette question, fallait-il que je calcule B(x+1) - B(x) en premier lieu? Aussi, pour les questions précédentes, est-ce que j'ai juste?

Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez.

[Papy BERNIE]

Pour la question 1) e) , c'est toi qui as raison . J'ai lu trop vite et j'ai extrapolé à partir de la 1) d) croyant que l'on demandait l'erreur commise pour une production égale à 40.

Donc en 1) e) , tu utilises ta formule :

erreur absolue=|C'(x) - (C(x+1) - C(x))|=| 0.4x+20-[0.2(x+1)²+20(x+1)+80-(0.2x²+2x+80)] |

ce qui donne , en effet (après développement de cette expression) une erreur de 0.20 euro pour toute valeur de x.

2)

a) Pas très claire ta réponse !

Chiffre d'affaires= recette= R(x)=30x

b)

B(x)=R(x)-C(x)=30x-(0.2x²+20x+80)

Etc.

Là, tu as bon.

c) Bon.

d)

Tu écris simplement :

Comme on assimile le bénéfice marginal du x ^ième objet à B' (x), on a donc comme bénéfice marginal B'(20) de la 20 ^ième lampe :

B'(20) = -0,4*20 + 10 = -8 + 10 = 2

et comme bénéfice marginal de la 40 ^ième lampe :

B'(40) = -0,4*40 + 10 = -16 + 10 = -6

Là, on a donc une perte.

Tu n'as rien d'autre à calculer pour la 2) d)

[Matt-120]

2.a. Déterminer le chiffre d'affaires réalisé quand l'entreprise vend x lampes.

B(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x)

a) Pas très claire ta réponse !

Chiffre d'affaires= recette= R(x)=30x

Mais ne faut-il pas enlever au 30x le coût de production C(x) pour obtenir le bénéfice B(x)?

Donc la formule B(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x) n'est pas correcte? En fait, j'ai pensé que c'était logique d'enlever le coût de la production pour x lampes de chevet au 30x car un côut de production me semble non négligeable dans le calcul d'un bénéfice. D'ailleurs, on part de la formule B(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x) pour montrer que B(x) = -0,2 x² + 10x - 80, on ne ne part pas de B(x) = 30x. Enfin je n'ai pas compris, pouvez-vous m'éclairer sur ce point là? Merci d'avance.

Et merci pour vos anciennes réponses!

[Papy BERNIE]

Tu écris :

Mais ne faut-il pas enlever au 30x le coût de production C(x) pour obtenir le bénéfice B(x)?

Donc la formule B(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x) n'est pas correcte?

Mais c'est exactement ce que j'ai fait !!

Regarde mon 2) b) envoyé tout à l'heure !!

Et j'ai même écrit :

"Là, tu as bon " !!!!

[Matt-120]

Oui votre réponse au 2. b) est correct mais en fait, j'avais pas compris votre réponse au 2. a). Je viens de comprendre. Ce que vous avez essayé de me dire, c'est de mieux rédiger ainsi afin d'être plus claire dans ma réponse :

B(x) =Chiffre d'affaires - Coût de production = CA(x) - C(x) = x*30 - C(x) = 30x - C(x)

Merci beaucoup!