Fonction Exponentielle

[Aud]

je n'arrive pas a résoudre cet exercice je suis bloqué sur plein de question!!!

voici l'énoncé:

Dans un repère (O ;i ;j) nous avons une courbe C d’une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son asymptote D et sa tangente T au point d’abscisse O.

On sait que le point J(0 ;1) est centre de symétrie de la courbe C, que l’asymptote D passe par les points K( -1 ;0) et J, que la tangente T a pour équation y=(1-e)x+1

PARTIE A :

1) Déterminer une équation de D

2) On suppose qu’il existe 2 réels m et p et une fonction j définie sur R tel que, pour tout réels x, f(x)=mx+p+j(x) avec lim x tend vers +infini de j(x)=0

a) déterminer m et p

) démontrer que, pour tout réels x, f(x)+f(-x)=2

c) En déduire que la fonction j est impaire puis que la fonction f’, dérivé de f, est paire.

3) On suppose maintenant que, pour tout réel x :

j(x)=(ax+B)e^(-x²) ou a et b sont des réels.

Démonter, en utilisant les données et les résultats précédents, que a=-e et b=0

PARTIE b :

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x)=1+x-xe^(-x²+1) et on suppose que la courbe C représente la fonction f dans le repère (O ;i ;j).

1) a) Vérifier que pour tout réels x : f’(x)=1+(2x²-1)e^(-x²+1)

Calculer f’(0)

B) Vérifier que T est bien la tangente de la courbe C au point d’abscisse 0. Etudier la position relative de la courbe C et sa tangente T.

2) Le graphique suggère l’existence d’un minimum relatif de f sur [0 ;1]

a) démontrer que f’’(x) est le signe de 6x-4x^3

B) démontrer que l’équation f’(x)=0 admet une solution unique a sur [0 ;1]

c) démontrer 0,51<a<0,52

d) exprimer f(a) sous la forme d’un quotient de 2 polynômes en a.

J'ai trouvé quelque réponse mais je ne suis pas suis quelles soit bonne et je n'arrive pas les autre question. quelqu'un pourait il m'aider!!!!

partie A:

1) je me suis servi de y =ax+b avec a le coefficient directeur c'est a dire a=( yk-yj)/(xk-xj)=1 donc l'équation sera y=x+1

2)a)?

B) f(x) +f(-x)= mx+p+j(x)+m(-x)+p+j(-x)= 2p=2

c)je sais que je doit essayer de démontrer que f(-x)=-f(x)

3) je ne comprend pas!!!

partie b:

1)a)ca va c assez simple

b)je doit certainement devoir utilisé l'équation de la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) avec x=0 et pour la position étudier le signe.

2)je suis bloqué a partir de là!!!

j'ai vraiment besoin d'aide je comprend rien!!!

[philippe]

bonjour,

A.

1.oui

2.a

puisque f(x)=mx+p+j(x) alors

f(x)-(mx+p) tend vers quoi en +oo?

qu'est ce que cela veut dire pour y=mx+p?

mais y=x+1 est asymptote à Cf

donc m=... et p=...

2.b

dans ton calcul, tu as finalment dit que

j(-x)=-j(x)

est ce vrai?? c'est l'objet d'une question qui suit!

rappelle plutôt toi ceci:

si f admet I(a,b ) pour centre de symétrie alors f est impaire dans (I,i,j)

cad (fais un dessin): pour tout x f(a-x)+f(a+x)=2b

2.c

tu dis:

je sais que je dois essayer de démontrer que f(-x)=-f(x)

cad f(-x)+f(x)=0

non car tu viens de montrer que f(-x)+f(x)=2

pars plutot de là et déduis que j(-x)=-j(x)

déduis en que j' est paire (en dérivant la relation précédente)

déduis en que f' est paire

3.

j impaire donc montre que b=0

1-e est le coef de la tangente au point (0,f(0)) : f'(0)=1-e donnera j'(0)=-e...

B.

1.a

ok

1.b

certainement

et pour la position, étudier le signe de f(x)-[f'(0)(x-0)+f(0)]

2.a

calcule f''(x) déjà et regarde de quel signe il peut être

2.b

que vaut f'(0) et f'(1)?

quand une fonction g se trace d'un seul trait (continue) sur [a , b ]

et que g(a) et g(b ) sont de signe contraires alors c'est sûr : g coupe l'axe des abscisses.

on dit ceci d'une autre façon:

si g est dérivable sur [a,b ] et g(a) et g(b ) sont de signe contraires alors il existe x0 dans ]a, b [ tel que g(x0)=0.

2.c

calcule f'(0.51) et f'(0.52) et conclue

2d.

f(a)=... à toi

le terme avec l'expo te gêne (je sais!)

utilise le fait que f'(a)=0 et exprime e^(-a²+1) en fonction de a.

fais en sorte de ne plus être gêné dans f(a)!! et trouve cette fameuse fraction polynomiale

@+

[Aud]

Je vous remercie beaucoup pour votre aide. Cependant je n’est pas réussi a tout trouvé je suis encore bloqué par endroit.

Dans la partie A

2°) c)dans la deuxième partie de la question je vois pas comment on peut faire car on sait que j(-x)=-j(x) que f(x)= x+1+j(x) et que f’(x)= 1+j’(x)

je n’arrive pas a conclure que f’ est paire

3) je comprend pourquoi le faite que j soit impaire montre que b=0 et je trouve pas a

dans la partie B

1)b) j’ai réussi a montrer que T etait bien la tangente en 0 mais l’orsque je calcule pour la position relative je trouve f(x)-(f’(x)(x-0)+f(0)= x[(-e^(-x²+1))+e]

Quand je fais mon tableau de signe je trouve + sur ]-oo ;0[ et – sur ]0 ; +oo[. Cependant d’après la courbe sur la calculatrice ça devrai etre l’inverse. J’ai mis dans mon tableau x ; -e^(-x²+1) et e je ne comprendre pas pourquoi ça ne fonctionne pas !!!

2)a) quand je calcule f’’(x) je trouve plein de résultat différent mais c’est jamais du même signe que 6x-4x^ 3 sur les négatifs. Mon dernier résultat je trouve

f’’(x)= 1+2x-4x^ 3+(e^(-x²+1))(4x+2x²-1)

d) f(a)=1-a-ae^(-a²+1) je vois pas a quoi peut me servir f’(a)=0 car f’(a)=1+(2a²-1)e^(-a²+1)=0

je ne peut pas remplacer a par une valeur puisqu’il est compris entre 0.51 et 0.52 et je ne peux pas dire que 2a²-1=-a-a

Sinon je vous remercie vraiment beaucoup pour votre aide !!!!!!!!

[philippe]

2c.

puisque

j(-x)=-j(x) (impaire)

en dérivant: (fonction composée)

-j'(-x)=-j'(x)

j'(-x)=j'(x) (paire)

puisque f'(x)=1+j'(x)

tu conclues rapidement que f' est paire.

3.

j(-x)=(-ax+b )e^(-x²)

=-j(x)=(-ax-b )e^(-x²)

donne

-ax+b=-ax-b

puis b=0

f'(0)=1-e (le coef dir de la tangente en x=0 est le coef de x dans y=(1-e)x+1)

1+j'(0)=1-e

j'(0)=-e

arrive sur a=-e

1b.

f(x)-y

=f(x)-[(1-e)x+1]

=e.x.[1-e^(-x²)] (tu peux factoriser par e ton expression)

montre que 0<1-e^(-x²)<1 (montre que 0<e^(-x²)<1 avant)

la diff est donc du signe de x et tu retomberas sur tes pattes

2a.

trouves tu:

f'(x)=(2x²-1)e^(-x²+1)+1

f''(x)=(-4x^3+6x)e^(-x²+1)

recommence tant que tu n'y arrives pas

(au passage e^(-x²) se dérive en -2xe^(-x²); et e^(-x²) doit rester en facteur un peu partout...)

2d.

f(a)=a+1-ae^(-a²+1)

Mais

f'(a)=0 donc e^(-a²+1)=1/(1-2a²)

donc

f(a)=...

j'espère que ça ira mieux

[Aud]

Merci merci merci beaucoup!!!!!!!!!

J'ai compris maintenant heureusement que tu étais là!!!

encore merci.........