Divisibilité En Spé Maths Terminale S

[Tuningdu62]

Bonjour à toutes et à tous, j'aimerais svp avoir un éclaircissement concernant mon premier DM en Spé Maths. L'énoncé est le suivant:

** Trouvez tous les couples d'entiers naturels dont la somme est un multiple du produit. **

Je pose ( x ; y ) le couple tel qu'il existe un entier k tel que k ( x+y ) = xy.

J'aboutis à: x = k ( (x/y) + 1 )

et y = k ( (y/x) + 1 )

Comment puis-je aboutir, à partir de ces deux égalités, aux solutions a divise b et b divise a recherchées?

Cordialement

Tuningdu62

[trollet]

personnellement, j'aurais plutôt écrit : x+y=k.xy !!

[philippe]

bonjour,

partant de x+y=kxy (E) on a

x=y(kx-1)

donc x|y ou x|kx-1

1/ x|y

il existe m, y=mx

(E) devient x=mx(kx-1)

solution triviale x=y=0.

soit x<>0.

on a m(kx-1)=1

donc m=1 et kx-1=1 ie kx=2

donc m=1 et k=1 et x=2

ou m=1 et k=2 et x=1

ce qui donne : x=y=2 ou x=y=1.

2/ x|kx-1

cad kx-1=0 mod(x)

ou encore il existe n tq kx+nx=1

soit (k+n)x=1

donc....

je te laisse finir.

[Tuningdu62]

Je tiens à vous remercier pour tous ses éléments clairs et précis!!

Pouvez-vous en revanche m'expliquer ce à quoi correspond 0 modulo (x) car c'est une application que nous n'avons pas encore vu malheureusement :s :s

Car je suppose qu'il y a un rapport par la suite avec le nx qui apparaît.

Cordialement

Tuningdu62

[Matrix_]

Hello,

Je te donne un exemple

4 = 0 modulo(2)

cela veut dire que le reste de la division euclidienne de 4 par 2 vaut 0

(4=2*2)

5=1 modulo(2)

Cela veut dire que le reste de la div. euclidienne de 5 par 2 vaut 1

(5=2*2+1)

Dans l'exo,

kx-1=0 mod(x)

cela veut dire que le reste de la division euclidienne de kx-1 par x vaut 0 donc que x divise kx-1

bon courage!

@+

[Tuningdu62]

  Matrix_ a dit :

Hello,

Je te donne un exemple

4 = 0 modulo(2)

cela veut dire que le reste de la division euclidienne de 4 par 2 vaut 0

(4=2*2)

5=1 modulo(2)

Cela veut dire que le reste de la div. euclidienne de 5 par 2 vaut 1

(5=2*2+1)

Dans l'exo,

kx-1=0 mod(x)

cela veut dire que le reste de la division euclidienne de kx-1 par x vaut 0 donc que x divise kx-1

bon courage!

@+

[Tuningdu62]

  philippe a dit :

bonjour,

partant de x+y=kxy (E) on a

x=y(kx-1)

donc x|y ou x|kx-1

1/ x|y

il existe m, y=mx

(E) devient x=mx(kx-1)

solution triviale x=y=0.

soit x<>0.

on a m(kx-1)=1

donc m=1 et kx-1=1 ie kx=2

donc m=1 et k=1 et x=2

ou m=1 et k=2 et x=1

ce qui donne : x=y=2 ou x=y=1.

2/ x|kx-1

cad kx-1=0 mod(x)

ou encore il existe n tq kx+nx=1

soit (k+n)x=1

donc....

je te laisse finir.

[Tuningdu62]

  Tuningdu62 a dit :

J'ai un petit souci car si x l kx-1 alors kx-1 = nx où n un entier naturel. Or on obtient l'égalité suivant:

kx - nx = 1 donc x ( k - n ) = 1 donc les solutions sont infinies:

x=1, k=2 et n=1 ou x=1, k=200 et n=199 etc........

Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment vous vous amenez à une égalité du type

kx +nx = 1 donc x ( k + n ) = 1?

Cordialement

Tuningdu62