Bijection Et Fonction Reciproque

[italiano3]

bonsoir à tous, j'ai un exo qui me pose problème :

a) Soit f(x) = tan x - x.

Montrer que f est une bijection strictement croissantede [0, pi/2[ sur [0, + oo [

Ici je bloque deja car le terme de Bijection pour moi est assez flou.....je n'ai jamais fait ca en cours et apparament ca devait deja etre fait en Tle....:s

B) Soit g l'application reciproque de f definie sur [0, +oo[

Montrer que g est derivable sur [0,+oo[ et que g'(x)=1/(g(x)+x)^2.

Il faut donc commencer par trouver g et je ne sais pas trop comment faire

Dans mon cours j'ai noté : f(x) = y > g(y)=x pù g est la fonction reciproque de f

Mais je n'arrive aps vraiment à l'appliquer....

c) Montrer que h(x) = f(x) - x^3/3 est une bijection strictement croissante de [0, pi/2[ sur [0,+oo[

Avec l'exemple de la a) je pense que cette dernière question pourra etre faite

Merdi d'avance pour une eventuelle aide

[elp]

Une application de E ds F est surjective si et seulement si tout élément y de F est l’image d’au moins un élément de E

(quel que soit y ds F, il existe x ds E tel que f(x)=y)

Une application de E ds F est injective si et seulement si tout élément y de F est l’image d’au plus un élément de E (si x différent de x’ alors f(x) est diff de f(x’))

Une application de E ds F est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

Pour tout y de F, l’équation y=f(x) d’inconnue x ds E, admet une solution unique

Le nombre x est noté f^-1(y) et f^-1 est une bijection de F sur E , c’est la bijection réciproque de f

Th

Soient I et J 2 intervalles, f une application bijective continue strictement monotone de I sur J et g sa bijection réciproque

Si f est dérivable en x0 et si f’(x0) non nul alors g est dérivable en y0=f(x0) et on a g’(y0)=1/f’(x0)

f(x)=tan(x)-x

En dérivant, on prouve que f est strictement monotone sur 0 ; +00 et comme elle est continue,

Pour tout réel h entre 0 et +00, l’équation f(x)=h a une solution unique ds 0 ; pi/2 dc on a une bijection de 0 ; pi/2 sur 0 ; +00

Dc f admet une bijection réciproque g

y= f(x)=tan(x)-x équivaut à x=g(y)

on applique le th du dessus

g’(x)=1/f ’(x)

or f ’(x) =(tan(x))’-1=1/cos²(x)-1=(1-cos²(x))/cos²(x)=sin²(x)/cos²(x)=tan²(x)

dc g’(x)=1/tan²(x)

mais f(x))=tan(x)-x dc tan(x)=f(x)+x et dc g’(x)=1/[f(x)+x]²

j'espère t'avoir un peu aidé

A plus

[italiano3]

ca m'aide meme plus qu'un peut !

merci

en fait il n'y avais pas besoin de trouver la fonction reciproque...

bonne soirée