Caractérisation Vectorielle De L'orthocentre

[nabiloudz]

Bonjour , je bloque sur un exercice d'un dm j'espèrte vivement que vous m'aiderez.

ABC est un triangle, O est le centre de son cercle circonscrit et G son centre de gravité A', B', C' désignenet les milieux respectifs de [bC], [CA] et [AB].

On note H le point définit par OH=OA+OB+OC (vecteur) [1]

(On doit prouver que H est orthocentre du triangle si j'ai bien compris )

1)a) Prouver que à partir de [1] que vecteur AH=2OA(vecteur)

B) Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC)

2.Démontrer que (BH) est perpendiculaire à (AC).Concluer.

J'espère vivement que vous m'aideriez, une petite aide serait serait la bienvenue.

[elp]

en vecteurs:

OH=OA+OB+OC par l'énoncé

AH=AO+OH=AO+OA+OB+OC=OB+OB

Comme A' est le milieu de [bC] on OB+OC=2*OA'

le pd scalaire AH.BC=2OA'.BC

O est le centre du cercle circonscrit à ABC dc est sur la médiatrice de BC.De plus A' est le milieu de BC donc (OA') est la médiatrice de BC et elle est perpendiculaire à (BC).

le pd scalaire OA'.BC est nul dc AH.BC est nul dc (AH) est perp à (BC) et c'est bien la hauteur issue de A

Il faut faire pareil pour B (exprimer le vect BH....... puis BH.AC etc...

[nabiloudz]

Je n'ai pas encore appris le produit scalaire

[elp]

on va donc faire ss le produit scalaire

OA' est perpendiculaire à BC car c'est sa médiatrice (voir mon précédent message)

AH=2*OA' (en vecteur) dc AH et OA' sont colinéaires

qd 2 droites sont // (ici AH et OA'), toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre dc comme BC est perp à OA' alors BC est perp à AH

[nabiloudz]

Merci. J'ai compris mais voila dans la suite du TD j'ai pas très bien compris 3 questions si vous pouvez m'aidez encore je vous en serez reconnaissant.

1)Prouvez que vecteur OH = 3vecteur OG [2]

2)Examinons la question de savoir si O,G,H peuvent être confondus. En utilisant [2] prouvez que si deux d’entres ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduisez-en que ABC est équilatéral.

3)Réciproquement si ABC est equilateral vérifiez que O G H est confondus.

4)Que dire des points distincnts O G H lorsque ABC est non équilatéral.

Le 1) je l'ai fait.

Le 2 je sais que ca se base sur la relation OH=3 vecteur OG, parce que si O et H sont confondus alors o et g sont confondus donc o,h et g sont confondus mais bon je ne sais pas trop bien expliqués.

[elp]

OH=3OG

Si O=H alors OH=0 dc 3OG=0 dc O=G et les 3pts sont confondus

si O=G alors OH=3*0=0 dc O=H et les 3 pts sont confondus

si H=G alors OH=3*OH dc OH =0 dc O=H et les 3 pts sont conf.

le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit dc chaque médiane est aussi hauteur dc le tri est 3 fois isocèle dc équilatéral

si le tri n'est pas équilatéral alors O,H,G sont alignés, G est entre O et H et longueur de OH=3*longueur de OG

[nabiloudz]

Que dois je dire en déduire que ABC est équilatéral.

[elp]

si ds un triangle, une médiane est confondue avec une hauteur, alors il est isocèle.

ici, comme H=G, le triangle est isocèle en chacun de ses sommets dc il a ses 3 côtés égaux et dc il est isocèle

[nabiloudz]

c'est plutôt équilatéral non ?

[elp]

c'est plutôt équilatéral non ?

oui !

désolé pour cette étourderie.

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