pour l'exercice 1 j'ai trouvé
1. La variable aléatoire X, qui représente le nombre de réponses correctes dans un QCM de 100 questions avec 3 réponses possibles (dont une seule correcte), suit une loi binomiale. En effet, chaque question peut être considérée comme un essai indépendant avec deux issues possibles : répondre correctement (succès) ou répondre incorrectement (échec). Les paramètres de cette loi sont n = 100 (le nombre de questions) et p = 1/3 (la probabilité de répondre correctement au hasard).
2. Pour calculer l'espérance E(X) et la variance V(X) de la variable aléatoire X :
- L'espérance E(X) d'une loi binomiale est donnée par E(X) = n * p.
- La variance V(X) est donnée par V(X) = n * p * (1 - p).
Calculons-les :
E(X) = 100 * (1/3) = 100/3.
V(X) = 100 * (1/3) * (2/3) = 200/9.
3. Pour exprimer S en fonction de X, sachant que chaque réponse correcte rapporte 1 point et chaque réponse incorrecte fait perdre 0,25 points, on peut écrire :
S = X - 0,25 * (100 - X) = X - 25 + 0,25X = 1,25X - 25.
4. Pour déterminer E(S) et V(S) :
- E(S) = E(1,25X - 25) = 1,25E(X) - 25 = 1,25 * (100/3) - 25 = 125/3 - 25 = 125/3 - 75/3 = 50/3.
- V(S) = V(1,25X - 25) = (1,25^2)V(X) = 1,5625 * (200/9) = 312,5/9.
5. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut majorer la probabilité que le gain S s'écarte de 50/3 de plus de 100/3. Pour cela, on utilise :
P(|S - E(S)| k) V(S) / k^2.
Ici, k = 100/3, donc :
P(|S - 50/3| 100/3) (312,5/9) / (100/3)^2 = (312,5/9) / (10000/9) = 312,5 / 10000 = 0,03125.
6. Pour déduire un majorant de la probabilité d’obtenir la moyenne à ce test, nous devons démontrer que :
P(S 50) P(S 50 + 100/3) + P(S 50 - 100/3).
Comme nous avons établi que la probabilité d'écart est au plus 0,03125, cela signifie que les chances d'obtenir la moyenne sont également majorées par ce mê
me chiffre.
mais je n'arrive pas a faire l'exercice 2
7MA06TE1324_Devoir7 (10).pdf
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exercice