LILLOU34

oh oui merci pour le corrigé, cela me serait très utile en tant que maman. Merci d avance 
 

oui je suis en 5 eme , dans l'herault je viens d'avoir 12 ans. 

en faite j avais commencer à faire comme vous réponse une mais il faut que j' explique mes calculs en forme de narration et j'ai du mal avec ça. 

Combien faut il de cartes pour construire un chateau de 2 etages ? 3 etages ? 6 etages?
Combien faut il de cartes pour un nombre quelconque d 'etages ? 

Bonjour à tous,
Enfin les vacances. en effet, je donnais ce défi quand j'étais enseignant au collège à mes cinquièmes (mais plutôt en fin d'année pour s'amuser en classe). Avec des résultats parfois surprenants !

PS : j'ai fait un corrigé pour ça si ça vous intéresse.

Je pense que le professeur attend au mieux que l'élève "intuite" le nombre de cartes nécessaires pour un château de n étages. Et même cela, c'est déjà très très largement hors programme, et l'intérêt pédagogique en est plus que limité du fait de la difficulté relativement au niveau. 
L'un des moyens les plus "simples" est de faire des dessins de châteaux pour différents nombres d'étages et de dénombrer le nombre de cartes horizontales et le nombre de cartes obliques nécessaires. Puis de généraliser une expression du nombre de cartes horizontales et obliques nécessaires au cas d'un nombre quelconque d'étages en s'appuyant sur ce que l'on a obtenu sur les exemples. (Voir en pièce jointe) 
Le nombre total de cartes pour un château de n étages est la somme du nombre de cartes horizontales nécessaires et du nombre de cartes obliques nécessaires soit 
n * (n-1) / 2         +        n * (n+1)

On peut (c'est le niveau de raisonnement le plus simple) compter le nombre des cartes (2 pour 1 étage 7 pour 2 étages 15 pour 3 étages etc…) ce qu'à proposé Denis.
Pour aller plus loin on peut compter le nombre de cartes nécessaire à la constitution de chacun des étages du château et  remarquer que tout ajout d'un étage supplémentaire nécessite  trois cartes de plus que celles nécessaires pour constituer le l'étage précédent …. Ainsi il faut il faut 2 cartes pour réaliser le premier étage, 2+3=5 pour réaliser le second, 5+3 pour le troisième etc… 

Donc pour un château de 3 étage il faudra un nombre N de cartes égal à 
N=2+5+8=15 cartes
et pour un château de 6 étages il faudra un nombre N de cartes égal à 
N=2+5+8+11+14+17=57 cartes
 
Je pense qu'au niveau de la cinquième cela reste encore compréhensible. C'este ensuite que cela se gâte d'où mon intervention.
 
Pour un nombre n d'étage il faudra faire la somme de n nombres en partant de 2, chaque nombre suivant étant égal au précédant auquel on ajoute 3 ce qui donnera
 N=2+5+8+11+14+…….. jusqu'à ce que l'on ait n nombres
on voit comment faire mais cela ne donne toujours pas le nombre de cartes nécessaire. Ce nombre ne peut être obtenu qu'en utilisant des expressions que l'on ne voit que dans des classes de niveau beaucoup plus élevé. C'est la raison pour la quelle il me semble impossible (en cinquième) de donner le nombre N des cartes nécessaires pour réaliser un château d'un nombre n quelconque d'étages (et qui vaut  N=(3*n^2+n)/2).